Моделирование поверхностей сложной геометрической природы линейчатыми поверхностями

• Автор: Кидяев, Дмитрий Андреевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Общие сведения по дифференциальной геометрии поверхностей
1.1 Параметрическое задание поверхности
1.2 Касательная плоскость и нормальный вектор
1.3 Элементы тензорной алгебры
1.4 Первая и вторая квадратичные формы поверхности, асимптотическая сеть
1.5 Линейчатые поверхности
2 Идентификация линейчатой поверхности, являющейся графиком многочлена. Поверхности Каталана
2.1 Общие сведения о поверхностях Каталана
2.2 О линейчатых поверхностях, являющихся графиками многочленов
2.3 Метод идентификации линейчатой поверхности, являющейся графиком многочлена
2.4 Ряд утверждений о поверхностях Каталана
3 Моделирование поверхностей различной геометрической природы линейчатыми поверхностями
3.1 Обзор известных результатов по решению задачи аппроксимации произвольных поверхностей линейчатыми поверхностями
3.2 Моделирование поверхностей, заданных множеством точек и нормалей, линейчатыми поверхностями
3.3 Моделирование поверхностей, заданных способом, принятым в системах компьютерного геометрического проектирования, линейчатыми поверхностями
4 Моделирование поверхностей, заданных способом, принятым в системах геометрического проектирования, развертывающимися поверхностями
4.1 Обзор известных результатов по решению задачи моделирования поверхностей развертывающимися поверхностями

4.2 Алгоритм моделирования поверхностей развертывающимися
поверхностями
Заключение
Литература
Публикации по теме диссертации
Приложение: исходные тексты программ
1 Моделирование поверхностей, заданных множеством точек и нормалей, линейчатыми поверхностями
2 Моделирование поверхностей, заданных способом, принятым в системах компьютерного геометрического проектирования, линейчатыми поверхностями

Введение
Моделирование поверхностей как процесс, в результате которого тем или иным образом заданная целевая поверхность может быть представлена другим (как правило, более простым или удобным) образом, является на сегодняшний день повседневной практикой в различных отраслях человеческой деятельности. Причем при постановке задачи моделирования поверхность может обладать различной природой. Под последним понимается тот факт, что поверхность может быть задана различным, порою достаточно сложным для данной задачи моделирования образом. В этом случае говорят о сложной геометрической природе моделируемой поверхности.
Совершенствование компьютерных технологий привело к созданию развитых систем проектирования поверхностей. К таким системам относятся системы компьютерного геометрического моделирования (такие системы принято называть CAD (computer-aided design) системами). Моделирование поверхностей в таких системах сводится, как правило, к определению некоторых процессов формирования поверхности из точек и кривых при помощи специальных процедур. Например, цилиндрическая поверхность может быть образована плоскопараллельным движением плоской кривой в направлении вектора, перпендикулярного плоскости этой кривой. Часто для создания модели поверхности сложной формы (например, при моделировании человеческого тела) удобно использовать сплайновые поверхности. На практике при этом используют, как правило, неоднородные рациональные В-сплайновые поверхности (NURBS). В других приложениях, например, при моделировании процесса обработки заготовки на различных станках, удобным оказывается

Выберем на этой поверхности точку М0( 1,1,12). В этой точке коэффициенты второй квадратичной формы равны Ь- 24, М = -24, 7 = 24. Таким образом, асимптотические направления в данной точке могут быть найдены из уравнения
с1х2 - 2(Ьсс1у + (1у2 = 0. (2.3)
Или (с/х-с/у)2 = 0, откуда у = х + С. Очевидно, угол между найденным
направлением и осью у равен Осуществим поворот системы координат на угол “. Тогда старые координаты выразятся через новые следующим образом:
х = ~[Ах'+У%
7 (2.4)

Подставляя последние выражения в уравнение поверхности, получим
г - 4л/2у'((х')4 + 3(х’)2 +1) + 4(Т2х’+1). (2.5)
Многочлен, стоящий в правой части равенства (2.5), является линейным относительно у', а значит, рассматриваемая поверхность является линейчатой.
2.4 Ряд утверждений о поверхностях Каталана
Из литературы [31, 35, 36, 46] известно, что для того, чтобы линейчатая поверхность, заданная уравнением г = р(м) + И(и), |/1 = 1, 1" 0 являлась
поверхностью Каталана необходимо и достаточно, чтобы 1Г1" = 0. В своем доказательстве это утверждение использует тот факт, что |7| = 1. Если отказаться
от данного ограничения (часто это удобно, так как нормировка направляющего вектора образующей линейчатой поверхности может привести к громоздким выражениям), то можно сформулировать следующие достаточное условие.
Утверждение 2.1. Пусть задана линейчатая поверхность
г = р(н) + г/ (м), причем вектор-функция /(и) трижды непрерывно