Математические модели для многочастичной задачи на квантовом графе и для туннелирования

• Автор: Еремин, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Оглавление
Введение
§1. Общая характеристика работы
§2. Физическая постановка задачи
§3. Метод потенциалов нулевого радиуса
1 Модель липкого квантового графа для оператора Бельтрами-Лапласа на сфере
§1. Описание модели
§2. Метод аппроксимации сингулярного потенциала
2 Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом
§1. Поведение двух взаимодействующих частиц на прямой
§2. Поведение двух взаимодействующих частиц в кольце
§3. Двухчастичная модель квантового кольца с проводником
§4. Численное исследование модели на дополнительные энергетические уровни
3 Модель туннелирования через наносферу в магнитном поле
§1. Функция Грина для сферы
§2. Модель туннелирования
§3. Результаты
Заключение
Приложение А
Приложение В
Литература

Введение
§1. Общая характеристика работы
Актуальность темы. Современное развитие наноэлектроники делает необходимой задачу теоретического исследования различных квантовых наносистем. Это связано в первую очередь с практической возможностью создания подобных структур. Квантовые свойства наносистем могут зависеть от различных факторов (от геометрической формы, от вида соединения структур, от направления и напряженности магнитного поля и т.д.), поэтому возникает не только теоретический, но и практический интерес в нахождении и исследовании данных зависимостей.
Следует также отметить, что кроме исследования квантовых свойств наноструктур, важно исследовать возмущения в подобных объектах, в частности короткодействующими потенциалами. Такие системы можно исследовать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание объектов сводится к построению возмущения оператора Лапласа и исследованию его спектра.
В некоторых случаях адекватной моделью наносистем является квантовый граф. Математическая теория одночастичных задач для квантовых графов достаточно хорошо развита. В то же время, многочастичные задачи рассматривались только для некоторых простых типов систем. Эти задачи являются более сложными, поскольку размерность конфигурационного пространства многократно возрастает в зависимости от числа частиц. С другой стороны, без учета взаимодействия частиц невозможно эффективно моделировать многие наноустройства, в частности, элементы квантового компьютера.
Целью исследования является:
1. построение модели липкого квантового графа на сфере и ее верификация;
2. разработка численного метода аппроксимации сингулярного потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида;
3. построение и изучение модели многочастичного квантового графа;
4. построение и изучение модели наносферы с двумя проводниками в магнитном поле;
5. разработка комплекса программ для вычисления энергетических уровней двухчастичной системы и коэффициента прохождения для сферы в магнитном поле;
6. изучение влияния интенсивности взаимодействия частиц между собой на энергетические уровни;
7. изучение зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля.
Объектом исследования являются математическая модель липкого квантового графа, модель двухчастичного квантового графа и модель наносферы с двумя проводниками.
Научная новизна и значимость работы определяется следующими результатами исследования.
1. Развит математический аппарат моделирования липких квантовых графов на сфере и многочастичных квантовых графов на базе спектральной теории самосопряженных операторов.

Доказанная теорема 1 является обоснованием численного метода аппроксимации 6-потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами Ае{х). Разработанный метод может быть использован при математическом моделировании сферических наноструктур с сингулярным потенциалом и является решением задачи о верификации липкого квантового графа, то есть предложен такой выбор параметров расширений гамильтониана, при котором модель липкого квантового графа соответствует некоторой реальной задаче.