Доставка любой диссертации в формате PDF и WORD за 499 руб. на e-mail - 20 мин. 800 000 наименований диссертаций и авторефератов. Все авторефераты диссертаций - БЕСПЛАТНО
Третьяков, Григорий Львович
05.13.16
Кандидатская
1999
Москва
158 с.
Стоимость:
499 руб.
Оглавление
1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ВЕРОЯТНОСТИ В СЛУЧАЕ ОДНОГО ОГРАНИЧЕНИЯ
1.1. Оценка константы Липшица функции вероятности
1.2. Приращение функции вероятности в виде повторного интеграла. Существование почти всюду градиента в форме поверхностного интеграла
1.3. Существование градиента функции вероятности в виде поверхностного интеграла
1.4. Существование градиента функции вероятности в виде объемного интеграла
1.5. Выводы по главе
2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ВЕРОЯТНОСТИ В СЛУЧАЕ НЕСКОЛЬКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ
2.1. Дифференциальные свойства функции вероятности, при дополнительном геометрическом ограничении
2.1.1. Оценка константы Липшица функции вероятности
2.1.2. Градиент функции вероятности в виде поверхностного интеграла
2.2. Существование градиента функции вероятности в виде суммы поверхностных интегралов
2.3. Градиент функции вероятности в случае звездчатой линии уровня функции потерь
2.4. Выводы по главе
3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ КВАНТИЛИ
3.1. Функция квантили как неявная функция
3.2. Функция квантили как функция максимума
3.3. Выводы по главе
4. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ С ФУНКЦИЕЙ ВЕРОЯТНОСТИ
4.1. Логарифмическая вогнутость функции вероятности
4.2. Стохастический квазиградиентпый алгоритм минимизации выпуклой
функции
4.3. Максимизация функции вероятности
4.3.1. Постановка задачи
4.3.2. Конечно-разностные методы максимизации функции вероятности
4.3.3. Максимизация функции вероятности на основе представления
ее градиента в виде интеграла по симплексу
4.3.4. Максимизация функции вероятности на основе комбинированного способа вычисления стохастического квазиградиента
4.4. Стохастический квазиградиентный алгоритм Эрроу - Гурвица решения выпуклой задачи условной оптимизации
4.5. Решение задач с вероятностными ограничениями
4.5.1. Постановка задачи
4.5.2. Стохастический квазиградиентный алгоритм Эрроу - Гурвица решения задачи с вероятностными ограничениями
4.6. Численные примеры
4.7. Выводы по главе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Экстремальные задачи оптимизации неразрывно связаны с созидательной деятельностью человека и с каждым годом расширяется сфера их применения. Выбор решения в реальных ситуациях производится, как правило, при наличии неконтролируемых факторов или неполной информации.
Модели и методы решения оптимизационных конечномерных задач при наличии случайных или неопределенных факторов являются предметом изучения стохастического программирования.
Среди многочисленных постановок задач стохастического программирования одно из ведущих мест занимают задачи с функцией вероятности, определяемой как вероятность выполнения системы неравенств, зависящих от вектора стратегий и случайного вектора. К задачам с функцией вероятности сводятся многочисленные практические приложения из технической и экономической областей. К основному блоку таких задач относятся задачи проектирования систем и планирования ресурсов в условиях, когда некоторые параметры системы случайны. Например, в [65, 82, 95, 96] рассмотрены задачи определения оптимальных параметров систем водоснабжения, газоснабжения, электроснабжения. Большое число технических задач, сводящихся в математической постановке к оптимизационным задачам с функцией вероятности, рассмотрены в недавно опубликованных монографиях [67, 68, 94], посвященных стохастическому программированию.
Кроме того, функция вероятности используется при анализе качества моделей со случайными факторами. В них целевая функция может определяться как вероятность выполнения или невыполнения какого-либо события, например, в [100] анализируется вероятность разрушения реактора на атомной станции, в [69] вероятность успешной посадки самолета, в [24] вероятность достижения терминального множества дискретной динамической случайной системой, в [113] ве-
Заметим, что множество Ÿ непусто, так как по предположению непусто множество Xq. По построению и в силу непрерывности функции /(и, х) на замкнутом множестве [и*, w*] х Xq получим, что при у Є Y множество Wy Ç [їх;, н,+1] непусто, замкнуто и, так как оно ограничено, является компактом. По построению, уравнение f(u,y,xm) = О разрешимо относительно хт для всех у Є Y и и € Wy. Поэтому, учитывая условия (і) - (и), применима теорема о неявной функции [53] ,ТЛ,стр.305, согласно которой для каждого у Є У на множестве Wy определена единственным образом гладкая функция хт — д(и, у) со значениями в Xq, обращающая уравнение f(u,y,xm) = 0 относительно переменной хт в тождество и такая, что
9'UV) = ~ f'(u~xY 9'уМ’УЇ = ~г'Ти%' *
J Xm 5 / J Хт )
(1Л4.)
Пусть ау, ау G [щ, иг+{ соответственно наименьший и наибольший элемент компакта Wy Ç [щ, гц+і], г/ Є У. Обозначим
ty = 9(ay,y), ty = g(ay,y).
Утверждение 1.1 Множества Т1 ,Т, с точностью до множества нулевой меры Лебега, в пространстве IRm совпадает с множествами
Г= U (і/хМ’])- и (ÿx[t»,g)
yeY:ty
Докажем данное утверждение только для множества Т Для множества 1] доказательство будет аналогичным. Пусть (у, хт) G Т%. По построению множества Тг выполнены неравенства
f (Wj-j-i, у, Xm) Д 0 f(Ui,y,Xm) (1.15)
и Т1 Ç Xq. Отсюда у G Y. Покажем, что ty < xm < ty. По построению точек ау, ау выполняется /(м, у, хт) ф 0 для всех и G (щ, ay)J(ay, Щщ). Поэтому из непрерывности функции f(u,y,xm) по г< Є и
(1.15) следует
f(ay,y,xm) < 0 < /(%, у, жт).
Учитывая, что функция /(и, у, хт) строго возрастает по жт : (у, жт) Є Х0 при и G [щ,иі+1] и f(ay,y,ty) = f(ay,y,ty) = 0, получим ty < хт <
Название работы | Автор | Дата защиты |
---|---|---|
Математическая модель деформирования во времени многослойных составных цилиндрических оболочек | Овчинникова, Ирина Юрьевна | 2000 |
Математическое моделирование конформационных свойств фосфолипидов клеточных мембран при образовании комплексов с пиридином и некоторыми его производными | Косарева, Диляра Ильдусовна | 1999 |
Экспертная поддержка процессов диагностики и проектирования экологического состояния действующего промышленного предприятия | Томилина, Оксана Александровна | 2000 |