Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями

• Автор: Терешко, Дмитрий Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 103 с.

Содержание
Введение
1 Постановки основных краевых задач
1.1 Постановки основных краевых задач. Обзор предыдущих исследований
1.2 Основные функциональные пространства и интегральные формулы
1.3 Дополнительные сведения
2 Разрешимость основных краевых задач
2.1 Существование и единственность слабого решения основных краевых задач
2.1.1 Определение слабого решения Задачи
2.1.2 Существование слабого решения Задачи
2.1.3 Единственность решения Задачи
2.1.4 Случай линейной задачи тепловой конвекции
2.1.5 Введение граничных и распределенных управлений
2.2 Разрешимость Задачи 1 в особом случае
2.3 Случай уравнений Навье-Стокса
3 Исследование обратных экстремальных задач
3.1 Теорема существования
3.2 Применение метода неопределенных множителей Лагранжа
3.2.1 Существование множителей Лагранжа
3.2.2 Вывод дифференциальных уравнений и граничных условий для множителей Лагранжа

3.3 Регулярность множителя Лагранжа
3.4 Единственность решения экстремальных задач
3.5 Исследование экстремальных задач в особом случае
3.6 Экстремальные задачи для уравнений Навье-Стокса
Заключение
Литература

Введение
Развитие новых технологий в инженерной механике жидкости приводит к новым постановкам задач в теоретической гидродинамике. Необходимость получать течения с требуемыми свойствами является основным стимулом изучения обратных экстремальных задач, которые стали рассматриваться в последнее время в гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости. В указанных задачах неизвестными являются граничные значения на определенных участках границы области течения и правые части уравнений, которые находятся из условия минимума некоторого функционала качества.
Хотя первые исследования в этой области появились в начале 80-х годов в работах A.B. Фурсикова [34-36], указанное направление стало интенсивно развиваться только в начале 90-х, когда вычислительная техника достигла уровня, позволяющего численно решать сложные задачи оптимального управления для нелинейных систем с распределенными параметрами. В большинстве работ, посвященных как теоретическим вопросам, так и чисто вычислительным аспектам решения задач оптимального управления гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, влияние тепловых эффектов на движение жидкости не учитывалось, а все рассмотрения проводились в рамках модели Навье-Стокса. Вместе с тем, для ряда процессов, происходящих в вязких жидкостях, тепловые эффекты играют важную роль. Поэтому исследование обратных экстремальных задач для уравнений вязкой теплопроводной жидкости представляет теоретический и практический интерес.
Основные трудности исследования таких задач связаны с наличием неоднородных граничных условий Дирихле для температуры при рассмотрении стационарной системы Обербека - Буссинеска, описыва-

Кроме того, в силу формулы (1.14) получаем
і/а(и,у) + с(и,и,у) + Ь1(Т,у)- <ї,у >н-1(п)хн&(п) у Є Н(П). (2.9)
Рассмотрим сужение (2.1) на пространство V С Поскольку < fg,v >— 0 на V, то из (2.1) и (2.9) следует, что
В таком случае, из [19,29,76] вытекает существование такой функции
Рассматривая далее сужение (2.2) на пространство Щ (П) С Т, легко выводим (2.5). Что касается соотношений (2.6), то они вытекают из свойств решения (и, Т) и пространства ¥.
Пусть теперь выполняются условия (у). Тогда в силу (1.31), (2.8) левые и правые части соотношений (2.4) и (2.5) принадлежат соответственно пространствам 1(6/5(П) и Т6/5(£1). Последнее позволяет умножить (2.4) и (2.5) соответственно на функции у £ ЛУ С Ь6(Г2) и 5 £ Т С Т6(0) и проинтегрировать по области Г2. Применяя формулы Грина (1.8) - (1.10), будем иметь в силу определения пространств и Т, что
*/а(и,у) + с(и, и,у) + 6і(Т,у) =< ґ,у > - < г,у п >Гз, (2.10)
Вычитая (2.1) и (2.2) соответственно из (2.10) и (2.11), и учитывая, что
< V >н-1(П)хні(П)= 0 Уу £ V.
Ла1(т, 5) + С1(и,Т, 5) =< /, 5 > +А < 5 >г„
(2.11)
< >=< 9,у п >г2 Уд Є Н 1/2(Г2)
получим
<г - д, у п >Гз= 0 Уу £
(2.12)