Методы моделирования и исследования устойчивости движений неавтономных динамических систем

• Автор: Александров, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 294 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Об устойчивости неавтономных систем
по нелинейному приближению
§ 1. Математическая модель системы первого приближения
и ее основные свойства
§ 2. Построение неавтономных функций Ляпунова для
нелинейных моделей динамических систем
§ 3. Уточнение условий асимптотической устойчивости
§ 4. Исследование систем, находящихся под воздействием
возмущений с нулевыми средними значениями
§ 5. Достаточные условия диссипативности нелинейных
моделей неавтономных систем
§ 6. Критерии устойчивости по обобщенно-однородному
первому приближению
Глава 2. Исследование устойчивости неавтономных
систем в критических случаях
§ 7. Об одной модели системы нелинейного приближения
§ 8. Асимптотическая устойчивость решений нелинейных
систем по отношению к части переменных 89
§ 9. Достаточные условия устойчивости движений нелинейных
систем, находящихся под воздействием неограниченных
возмущений
§ 10. Критерии устойчивости по нелинейному неавтономному
приближению
§11. Исследование устойчивости решений некоторого класса
моделей нелинейных нестационарных систем
§ 12. Об устойчивости сложных систем по нелинейному
приближению
Глава 3. Исследование устойчивости положения равновесия неавтономных моделей механических
систем
§ 13. Устойчивость равновесия нестационарных систем
в критических случаях
§ 14. Асимптотическая устойчивость равновесия моделей механических систем по отношению к части переменных
§ 15. Управление вращательным движением твердого тела
при неавтономных возмущениях
§ 16. Устойчивость векторного уравнения Льенара, находящегося под воздействием нестационарных возмущений
систем с переменными параметрами
Глава 4. Моделирование вынужденных стационарных
колебаний нелинейных систем
§ 18. Некоторые условия существования и устойчивости
вынужденных стационарных колебаний
§ 19. Системы с возмущениями, обладающими слабой
вариацией
§ 20. Рекуррентные возмущения с медленно меняющимися
частотами
§ 21. Системы со слабо сходящимися к нулю возмущениями
§ 22. Исследование влияния неограниченных возмущений на
устойчивость систем дифференциальных уравнений
Заключение
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена развитию методов исследования устойчивости и асимптотического поведения решений систем нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений.
Начиная с XVII века, при изучении различных явлений, связанных с динамикой течения процессов, используются математические модели, описываемые нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями [46, 86, 111, 126, 131]. Нелинейные системы являются основным математическим аппаратом исследования движений механических, физических, технических систем [51, 52, 71, 91, 92, 121, 124]. В дальнейшем модели такого рода получили широкое применение в химии, экономике, биологии, медицине и многих других областях [47, 49, 60, 101, 106, 116, 132, 160].
Анализ указанных математических моделей вызывает необходимость изучения общих свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями. Эта необходимость привела к созданию теории дифференциальных уравнений.
Наиболее важное место в общей теории дифференциальных уравнений занимает качественная теория, основателем которой является А. Пуанкаре [111]. К основным вопросам качественного исследования относятся вопросы существования, единственности и продолжимости решений, условия существования стационарных режимов рассматриваемых систем, методы аналитического представления этих стационарных режимов, а также условия их устойчивости.
При изучении математических моделей, динамика которых описывается нелинейными системами, проблема устойчивости имеет принципиальное и прикладное значение, так как при функциониро-

Далее будем считать, что функция г(Ь,х,х) в уравнении (2.10) имеет вид
причем и и а являются рациональными числами с нечетными знаменателями, и > 1, а > 1, а функции b(t) и () непрерывны и ограничены на промежутке [0,4-оо) вместе с интегралами
Покажем, что для возмущений такого рода условия (2.18) на параметры и и а, при выполнении которых сохраняется асимптотическая устойчивость нулевого решения, можно ослабить.
Для этого функцию Ляпунова строим по формуле
Проверяя для функции Иг{1>х,у) требования теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, получаем достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.17):
Замечание 2.5. Нетрудно проверить, что если ни а удовлетворяют неравенствам (2.18), то неравенства (2.21) для них также будут выполнены. Значит условия (2.21) задают более широкую область в пространстве параметров ни а по сравнению с областью, определенной с помощью функции \{х,у). При этом если
г(1, Ж, X) = bi(t) Xа + b2(t) Xй
(2.19)

(2.20)
(2.21)
ЗА — 1 > /х (A -f 1)
(2.22)