Модели и алгоритмы решения задач математической физики на ориентированных графах и их приложение в квантовой механике

• Автор: Степовой, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 121 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Гармонические и субгармонические функции на
ориентированных графах
1.1. Основные понятия и определения
1.2. Принцип максимума
1.3. Формулы Грина
1.4. Задача Дирихле
Глава 2. Спектр оператора Лапласа
2.1. Некоторые оценки спектра лапласиана
2.2. Декомпозиция задачи нахождения спектра лапласиана
Глава 3. Функция Грина оператора Лапласа
3.1. Некоторые сведения из общей теории графов
3.2. Обобщенно-гармонические функции
3.3. Потенциальный оператор
3.4. Функция Грина и ее связь с амплитудой Грина комплексной марковской цепи
3.5. Нахождение амплитуды вероятности
Глава 4. Дискретные аналоги классических уравнений
математической физики
4.1. Волновое уравнение на ориентированных графах
4.2. Уравнение теплопроводности на орграфах
Приложения

Приложение 1. Матрицы, ассоциированные с графами
Приложение 2. Нахождение границы конечных оргра

Приложение 3. Решение задачи Дирихле на конечных
графах
Приложение 4. Листинги программ
Список литературы
Введение

Настоящая работа посвящена изучению дискретного аналога оператора Лапласа, а также некоторых краевых задач, порождаемых лапласианом на ориентированных графах.
Оператор Лапласа на графах возникает в нескольких различных контекстах. Например, если граф в q-peгyляpный и А - матрица смежности в, тогда лапласиан Д=(1/ц)А - I. Рассматривая А, как простое случайное блуждание на в, получаем аналог оператора Лапласа-Бельтрами в теории броуновского движения.
В последнее время появился ряд работ, посвященных исследованию дискретного аналога оператора Лапласа на неориентированных графах. В этих работах изучается спектр оператора Лапласа, рассматриваются отношения между спектром лапласиана и геометрией графа, а также выявляются связи между спектром оператора Лапласа на всем неориентированном графе и его спектром на подграфах рассматриваемого графа. Изучаются вопросы существования гармонических, суб- и супергармонических функций на графах и рассматриваются некоторые их свойства.
Приведем обзор наиболее существенных работ и результатов в них.
Так, например, в [46] рассматривается отношение между спектром лапласиана А и геометрией бесконечного неориентированного графа С, а также существование гармонических, суб- и супергармонических функций с некоторыми дополнительными условиями. В этой работе показывается, что наименьшее собственное значение лапласиана Яо на бесконечном неориентированном графе 0=(Х,Ц) (X - множество вершин, и- множество дуг) относится к геометрии графа в посредством дискретной версии неравенства Чигера (Сйеедег). Константа Чигера графа О задается равенством

Для каждой компоненты сильной связности К графа в рассмотрим локальную задачу (2.1)-(2.2). При этом для этой задачи внутренностью считаем все вершины компоненты К, а границей- границу компоненты (см. определение 1.9). Обозначим БреДЛ); множество решений локальной задачи
(2.1)-(2.2) для компоненты К, графа в.
Обобщим понятие симметрической разности для произвольного конечного или бесконечного набора множеств.
Определение 2.1. Симметрической разностью произвольного набора
множеств Х1, i е!, будем называть множество -г Х1, состоящее из элементов х, каждый из которых принадлежит только одному из множеств Х1 и не принадлежит ни какому другому.
Пример 2.1. Пусть Х1={ 1,2,3}; Х2= {2,4,5}; Хз={1,2,5,7}, тогда
{3,4,7}.
Пусть К1р е/ компоненты сильной связности графа С. Связь между
БреЛ), и Брес(А) дает следующая теорема.
Теорема 2.2. Для произвольного графа в с прогрессивно конечной конденсацией справедливо следующее соотношение
+ 8рес(А)/ с 8рес(А) с иХрес(Д),. (2.8)

Доказательство. Докажем, что X 8рес(А)} с8рес(Л).
Пусть к<еХ8рес(А)1 и пусть ле8рес(А)/о, тогда для любой другой
компоненты сильной связности столбцы системы (2.3) линейно независимы, поэтому СЛАУ (2.3) имеет единственное решение для любой правой части и для любой компоненты А) : / ф /0. Отсюда получаем, что существует решение / (х)0 уравнения (2.1) на графе в. Следовательно, ле8рес(А).