Адаптивно-статистические методы в некоторых задачах вычислительной механики

• Автор: Бутенина, Дина Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 136 с.

Предисловие
Актуальность темы. Интенсивное развитие вычислительной механики происходит в направлении реализации численных экспериментов над все более сложными механическими моделями. Наиболее показательными здесь являются модели сплошных сред, анализ которых приводит к необходимости использования сеточных методов. При этом точность получаемого путем моделирования решения задач существенным образом зависит от характеристик узлов сетки, на которой ищется решение. Для сложных задач используются сетки с большим числом узлов, оптимизация которых невозможна из-за большей сложности этой проблемы, чем исходная. В данной работе предлагается развивать другой-ансамблевый, статистический подход к этой проблеме, согласно которому вместо оптимизации узлов сетки оптимизируется плотность их распределения.
Идея ансамблевого описания характеристик концентрации узлов сетки интегрирования позволяет преобразовать задачу математического программирования по выбору оптимальной сетки в соответствующую вариационную задачу. В ряде случаев эту вариационную задачу можно решить аналитически. В других же случаях возможно только приближенное численное ее решение. Однако сложность получения решения вариационнох! задачи намного меньше, чем решение аналогичной задачи математического программирования, так как в вариационной задаче оптимизации оказываются автоматически учтенными сложные для численной реализации ограничения на координаты узлов типа упорядочивания, а также для получения хороших приближений не требуется высокой точности определения плотности распределения узлов. Важны только тенденции их концентрации. Поэтому достаточной оказывается простейшая аппроксимация плотности
Содержание
Предисловие
1 Введение. Современное состояние методов статистических вычислений:
определения, свойства, проблемы, применения
2 Регрессионный метод вычисления многомерных интегралов
‘2.1 Постановка задачи
2.2 Синтез оптимального управления
вычислительным процессом
2.3 Стратегия адаптивной оптимизации
вычислительного процесса
3 Адаптивная оптимизация квадратурных формул
со случайными узлами
3.1 Постановка задачи
3.2 Оценки погрешностей квадратурных формул
для произвольно расположенных узлов
3.3 Функционалы математических ожиданий
погрешностей случайных квадратурных формул
3.3.1 Примеры функционалов
3.3.2 Некоторые ограничения для функционалов
3.4 Оптимизация функционалов по плотности распределения
3.4.1 Асимптотическая оптимальная плотность
3.4.2 Численное определение оптимальной плотности распределения произвольного числа узлов
3.5 Некоторые соотношения между стохастическими
и детерминированными погрешностми
3.5.1 Оптимизация погрешностей детерминированных оценок. Примеры
3.5.2 Связь детерминированных оптимальных узлов и оптимальной плотности распределения случайных узлов
3.6 Адаптивные алгоритмы оптимизации
случайной сетки интегрирования
3.7 Результаты численных экспериментов
Оптимизация случайной сетки МКЭ при расчете одномерных упругих систем
4.1 Постановка задачи. Основная идея
4.1.1 Адаптивный метод1 оптимизации сетки МКЭ
4.1.2 Адаптивный метод 2 оптимизации сетки МКЭ
4.2 Растяжение стержня переменной площади
поперечного сечения. Расчет симплекс-МКЭ
4.2.1 Вариационная формулировка задачи
4.2.2 Конечно-элементная модель стержня
4.2.3 Функционалы математических ожиданий аппроксимаций потенциальной энергии
4.2.4 Оптимизация функционалов по плотности
4.3 Пример. Растяжение стержня линейно меняющейся площади поперечного сечения
4.3.1 Аналитическое решение задачи
4.3.2 Оптимизация детерминированной сетки МКЭ

причем
МЫ()} = I <р(х)р(х) дх = 0; о
Р<р = / (х)Т(х)р(х) дх >
Тогда
П?М /> = (/ ~ -/2 - , (2.18)

•Л> = / ДХМХ) х-£
Доказательство. Покажем сначала, что М{0дт} — 9*м = О (772), т.е. оценка 0дг является асимптотически несмещенной.
Наряду с матрицей Фишера 5' рассмотрим нормированную матрицу 5дг, определеную следующим образом: 5дт = уАдт. Тогда Тд? = А’Т'ту, = Ад1 = Тд/. Матрица ТТ при Д -> оо сходится в среднеквадратичном смысле к матрице ТТ,, где ТТ, = 'ф(х)'фт (х)р(х) дх.

Представим матрицу в следующем виде: Тдг = 5.Х: + ДТл/. Так как М{Д.Рлг} = 0 и М{|| ДТД ||} —> 0 при ЛГ —> оо, то справедливо разложение:
ер = (Г„ + ДТд,)-1 =т£ - (II ДТд, II).
Тогда
мря} - % = М{(ЭдгФ.,УЛ.} = МДрФИТ}
= Атй М{ФЯУЯ} + “'«{ДГлТФаХд-} + А» (II ДТ« II).
В силу условий теоремы М{ФдгУдг} = 0 и справедливо ограничение:
М{|| ||} < ТщДТЯ||2}ДЧ1| ТФлЛЧгИ2} = (А)
Поэтому, с учетом свойства 3 параметров вдг и (2.17), для дисперсии ./.V справедливо представление:
= М{Лте„Ф„У*УЛФ„/1} + О (~) . (2.19)