Система программ для исследования комбинаторно-алгебраических инвариантов топологических объектов малой размерности

• Автор: Каишев, Андрей Игоревич
• Шифр специальности: 05.13.11
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Переславль-Залесский
• Количество страниц: 78 с. : ил

Оглавление
1 Комбинаторные объекты, связанные с инвариантами Васильева
1.1 Особые узлы и фильтрация Васильева
1.2 Инварианты узлов
1.3 Алгебра хордовых диаграмм
1.4 Алгебра диаграмм Фейнмана
1.5 Алгебра 3-графов
1.5.1 Умножение
1.5.2 Некоторые тождества
1.5.3 Связные диаграммы Фейнмана и 3-графы
2 Весовые системы со значениями в центре универсальной обертывающей алгебры
2.1 Универсальные обертывающие алгебры
2.2 Алгоритм построения образующих центра
2.3 Каноническое представление простых алгебр Ли
2.3.1 Представление алгебр серии А
2.3.2 Представление алгебр серии В
2.3.3 Представление алгебр серии С
2.3.4 Представление алгебр серии £>
2.3.5 Представление алгебры С?2
2.4 Система программ для вычисления значений весовых систем
2.4.1 Реализация алгоритма построения образующих
центра
2.4.2 Структура РОІІМ-программ
2.4.3 Вычисление значений весовой системы на хордовых диаграммах
2.5 Результат
2.6 Выводы
3 Структура алгебры 3-графов
3.1 Составление списка графов
3.2 Выражение графов через образующие
3.3 Вычисления

3.4 Результаты
3.5 Выводы
4 Алгебра 3-графов и алгебры Ли
4.1 Конструкция инварианта
4.2 Алгоритм вычисления 8Іц- и -полиномов
4.3 Переход к рекурсивному (параллельному) алгоритму
4.4 Т-программа вычисления в1- и «о-полиномов
4.5 Показатели эффективности распараллеливания Т-программы _ішг
4.6 Результат
4.7 Выводы
5 Алгебра графов Ландо
5.1 Конструкция алгебры Ландо
5.2 Программа для вычислений в алгебре
Ландо
5.3 Выражение графов через образующие
5.4 Гомоморфизм алгебр 7 : V -> С
5.5 Выводы

Введение
Диссертация посвящена вычислению инвариантов различных комбинаторно-алгебраических структур, возникающих при исследовании инвариантов узлов конечного типа (инвариантов Васильева).
Инварианты конечного типа, введенные московским математиком В. Васильевым в 1990 году, быстро завоевали широкое признание среди специалистов по теории узлов, и в течение 10 лет в мире вышло около 500 работ, посвященных исследованию инвариантов Васильева. Оказалось, что это понятие позволяет понять с единой точки зрения многие конструкции, введенные в топологии за последние 50 лет. В принципе, существует алгоритм, который дает явное описание всех инвариантов Васильева, но его суперэкспонен-циальная сложность не позволяет продвинуться дальше степени 7. По этой причине особое значение имеют разного рода опосредованные алгоритмы, которые позволяют находить те или иные характеристики изучаемых объектов с помощью вспомогательных структур (хордовых диаграмм, алгебр Ли, графов и т.п.). Настоящая диссертация относится как раз к этому подходу. В ней описан разработанный автором пакет программ для исследования комбинаторноалгебраических структур, возникающих в теории инвариантов Васильева.
Краткое содержание диссертации таково.
В первой главе мы излагаем основные определения и конструкции теории инвариантов Васильева, необходимые для понимания последующего материала. Это, в частности, введенное М. Концевичем понятие весовой системы как функции на алгебре хордовых диаграмм (см. [К], [ВШ]) и введенная С. К. Ландо ([Ьа]) конструкция алгебры графов с 4-членными соотношениями. Несколько подробнее изложена конструкция алгебры 3-графов Г, введенная в статье [СОК].
Во второй глава описан комплекс программ для вычисления весовых систем со значениями в центре универсальной обертывающей алгебры некоторых простых алгебр Ли. Мы приводим алгоритм вычисления образующих центра, вычисляем значения весовых систем на примитивных элементах алгебры хордовых диаграмм и выражаем их через образующие центра.
Третья глава посвящена исследованию структуры алгебры 3-графов. Для этого разработана система программ, состоящая из трех частей:

для вычисления значений весовых систем:
Список диаграмм, сформированный программой Д. Вар-Натана
системы, в виде многочленов от элементов алгебры Ли
1 1 I —1 1 1 1 j
PERL-программа Маріе-программа,
cd2frm.pl, генерирующая
преобразующая его в программу вычисления
I FORM-программу у 1 образующих )
ЕОЯМ-программа ґ ч
вычисляющая значение FORM-программа
весовой системы на вычисляющая
диаграмах у образующие центра
Список значений весовой “1 г 1 1 Список образующих центра
в виде многочленов от элементов алгебры Ли
(Маріе-программа, выражающая I системы через образующие центра
Список значений весовой системы, в виде многочленов от образующих центра
2.4.1 Реализация алгоритма построения образующих центра
Программа на языке “Maple”, создающая FORM-файл для нахождения образующих центра универсальной обертывающей алгебры U(A2) выглядит следующим образом:
read ca.m‘: read ‘comm.m‘: