Качественная теория преобразований квантовых систем в подходе обратной задачи

• Автор: Чабанов, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.04.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 67 с.

Содержание
Введение
I. Одномерное уравнение Шредингера
1. Качественная теория управления локализацией отдельных квантовых состояний
1.1. Элементы теории
обратной задачи
1.2. Трансформированные потенциалы
1.3. Выбрасывание уровня Ец как предел Сц -> О
(или Мц 0)
1.4. Протаскивание сквозь барьер избранных состояний
1.5. Управление переходами
2. Прозрачные потенциалы
3. Преобразования периодических квантовых систем с сохранением спектральной (зонной) структуры - неожиданная инверсия исходного потенциала
3.1. Формализм
3.2. Результаты
4. Аннигиляция при вырождении уровней связанных состояний
4.1. Случай преобразования с сохранением симметрии по
тенциала

4.2. Формулы сдвига уровней, не нарушающих симметрии потенциала на конечном отрезке
4.3. Асимметричный случай
II. Система сильно связанных уравнений Шредингера
5. Изменение приведенных ширин в рамках многоканального подхода
6. Беоотражательные многоканальные системы (неожиданные особенности
7. Преобразование супер симметрии в многоканальном случае
8. Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Суть квантовой теории, в самых общих чертах, - это установление связей характеристик взаимодействия со спектральными данными. Ежедневной работой для миллионов физиков является предсказание динамики системы частиц, если известны силы. Например, в ядерной физике, где на уровне описания атомного ядра как'совокупности взаимодействующих частиц - нуклонов, хорошим приближением служит уравнение Шредингера, рассчитывают уровни энергии связанных состояний (спектры), положение и ширины резонансов и т. д., в зависимости от задаваемых феноменологически парных взаимодействий. Иногда это называют прямой задачей (V -> S), в которой потенциалы взаимодействия V определяют различные свойства квантовой системы S -данные рассеяния, спектральные параметры и пр. Обратная же задача (5 —> V) состоит в том, чтобы по наблюдаемым данным, или данным рассеяния S, найти потенциал V системы.
Возникнув в середине XX столетия, обратная задача (квантовомеханическая) привлекала и продолжает привлекать внимание многих физиков и математиков, однако для физиков она остается все еще не до конца освоеной стороной квантовой теории. Одной из причин здесь являлось то, что обратная задача является не корректно поставленной задачей - любые, сколь угодно малые вариации SS входных параметров могут привести к не контролируемому росту 6V. Правда, эту трудность можно в значительной мере устранить, используя метод регуляризации Тихонова, - например, в DESY, Гамбург, успешно работает группа, возглавляемая профессором von Geramb’oM (см. напр. [30]), которая восстанавливает потенциалы по экспериментальным данным рассеяния с помощью алгоритмов регуляризации Тихонова. Другим препятствием служит переопределенность данных рассеяния в случае многомерных (многочастичных) квантовых систем: матрица рассеяния ,S(k, k;) зависит тогда от 2N - 1 независимых параметров (N - размерность системы, а единица вычитается из-за закона сохранения энергии к2 = к'2), но потенциал Е(х) только от N параметров. Это приводит к ’’артефактам” в виде нелокальной зависимости от N — 1 переменных восстановленных потенциалов [9, 31].
Однако в формализме обратной задачи скрывается еще одна особенность, которая может помочь углубить наше понимание фундаменталь-

4 АННИГИЛЯЦИЯ ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ УРОВНЕЙ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
4.1 СЛУЧАЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С СОХРАНЕНИЕМ СИММЕТРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Подводя некоторый промежуточный итог, можно сказать, что нам удалось, опираясь на точно решаемые модели 03 и преобразование суперсимметрии, заглянуть дальше и увидеть качественную физическую суть формул сдвига, уничтожения и рождения избранных уровней энергии, изменения пространственной локализации отдельных квантовых состояний, изменения ширин резонансов, управления прозрачностью квантовых систем. Казалось, что с созданием такой ”наглядной” теории управления спектральными параметрами в этой области достигнут предел ясности (интуитивное понимание). Но неожиданно был обнаружен любопытный эффект ” аннигиляции” связанных состояний при предельном сближении соседних уровней энергии [24]. Используя соответствующий точный математический формализм (формулы будут даны ниже), мы провели серию преобразований исходного потенциала - бесконечной прямоугольной ямы, не нарушая симметрии потенциала и последовательно сдвигая уровень второго связанного состояния все ближе и ближе к уровню соседнего третьего состояния (Рис.10).
Мы видим, что распределение плотности вероятности пары вырождающихся состояний как бы разрывается на две части, которые раздвигаются к стенкам ямы и ” вдавливаются” в них, концентрируясь внутри глубоких и узких ямок (”6-ямок”) у вертикальных стенок за отделяющими их сужающимися кверху барьерами, при этом волновые функции дублета вырождаемых состояний становятся по модулю все больше похожими друг на друга. Так что чем ближе друг к другу уровни дублета, тем больше плотность вероятности обнаружить частицу у стенок исходной ямы. В средней же части эта плотность вероятности стремится к нулю, в пределе полного вырождения ’’исчезая” во всей яме, за исключением краевых точек, составляющих множество меры нуль, где она обращается в бесконечность (т.е. становится ”6-функцией”).
Волновая функция основного состояния не меняет радикально своего вида после преобразования потенциала, только немного ’’концентрируется” в средней яме между барьерами. Волновые функции же состояний