Моделирование процессов возбуждения, распространения и взаимодействия солитонов в нелинейных системах на основе нелинейного уравнения Шредингера, его обобщений и модификации

• Автор: Болочагин, Владимир Юрьевич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 159 с. : ил.

Глава 1. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В РАДИОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
1.1. Возникновение уединенных волн в приближении классической теории дисперсии
1.2. Секулярная теория возмущений и волновые уравнения
1.3. Самофокусировка волновых пучков в нелинейных средах
1.4. Строгая теория экранированной волноведущей линии передачи с компланарными токопроводящими полосками
1.5. Анализ солитонных процессов в волноведущих структурах с нелинейными слоями
1.6. Выводы
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
2.1. Основные положения метода обратной задачи рассеяния
2.2. Алгоритм нахождения приближенных солитонных решений
2.3 Возбуждение солитонов в волноведущей структуре прямоугольным импульсом
2.4 Алгоритм вычисления дискретного спектра для произвольного
потенциала
2.5. Выводы
Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВОЗБУЖДЕНИЯ, РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СОЛИТОНОВ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
3.1. Численное решение НУШ конечно-разностным методом
3.2. Численное решение НУШ спектральным методом Галеркина.,77
3.3. Численное моделирование возбуждения солитонов в нелинейной системе на основе НУШ
3.4. Численное моделирование взаимодействия солитонов НУШ
3.5. Возбуждение солитонов прямоугольным импульсом
3.6. Выводы

Глава 4. ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ВОЗБУЖДЕНИЯ, РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СОЛИТОНОВ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕНИЙ И МОДИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
4.1. Обобщенное нелинейное уравнение Шредингера с членами линейной дисперсии третьего порядка и нелинейной дисперсии
4.2. Обобщение классического солитона нелинейного уравнения Шредингера в присутствии членов нелинейной дисперсии
4.3. Численное исследование процессов распространения и взаимодействия солитонных импульсов обобщенного нелинейного уравнения Шредингера
4.4. Модифицированное нелинейное уравнение Шредингера с логарифмической нелинейностью
4.5. Выводы
Заключение
Список литературы

О существовании солитонных процессов известно с середины XIX века, когда они впервые наблюдались в механической (гидравлической) системе. Тем не менее, на протяжении более чем столетия успехи исследователей в изучении процессов распространения уединенных волновых импульсов ограничились получением нескольких нелинейных уравнений (наиболее известным из которых является уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ)) и нахождением их частных решений подобного рода. Здесь могут быть названы работы Буссинеска, Рэлея, Кортевега и де Фриза [1,2]. Интенсивное развитие нелинейной физики, характерное для XX столетия продемонстрировало необычайную распространенность в природе уединенных волновых возмущений. Так, обнаружилось, что возникающее в теории дисперсии так называемое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) допускает решения в виде высокочастотной волны с огибающей в форме уединенного импульса [3-5]. Исследования в области нелинейной оптики привели к открытию явлений самофокусировки волнового пучка.
Качественно новая эпоха в исследовании уединенных волновых импульсов началась с 60-х годов, когда в работе Гарднера, Грин, Крускала и Миуры 1967 года [6] был предложен новый метод, позволивший проинтегрировать уравнение КдФ, вскрыть структуру его решений, проанализировать математическую природу и условия существования их солитонной части. Данный метод, получивший в русскоязычной литературе наименование "метод обратной задачи рассеяния" (МОЗР) был основан на оригинальной идее нелинейной замены переменных с использованием терминологии и аппарата квантовомеханической теории рассеяния. Рассматривая искомую функцию как потенциал в задаче рассеяния, авторы отыскивали по ней совокупность данных рассеяния, и, полагая, что потенциал подчиняется уравнению КдФ, отыскивали соответствующий закон временной эволюции данных рассеяния. Последний оказался чрезвычайно простым и, проведя тривиальное интегрирование, затем авторы решали обратную задачу рассеяния - восстановление потенциала (т.е. искомого решения КдФ) в произвольный момент времени. В 1971 году Захаров и Шабат в работе [7] обобщили предложенный метод на уравнение НУШ, в 1972 году Вадати нашел постановку, в рамках которой оказалось возможным проинтегрировать модифицированное уравнение КдФ [8], а Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур нашли решения уравнения sin-Гордон [9,10]. В 1974 году с помощью МОЗР были найдены решения уравнения для решетки Тоды [11,12].

Прямоугольный слоистый волновод с нелинейной пленкой, расположенной
параллельно узкой стенке
Рис.1.5.