Метод частичного обращения интегрального оператора в задачах о собственных волнах полосковых и щелевых линий передачи

• Автор: Арефьев, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 338 с. : ил

Введение
Актуальность темы
Создание современной радиотехнической аппаратуры для радиосвязи, радиолокации, радионавигации, радиоастрономии и других областей техники базируется на технологии плоскостных и объёмных интегральных схем (ИС) СВЧ [1-3]. Использование ИС СВЧ позволяет уменьшить габариты и массу, повысить надёжность и улучшить ряд электрических характеристик СВЧ узлов. Основу ИС СВЧ составляют полосковые и щелевые линии передачи. Поэтому проблемы реализации систем математического моделирования и автоматизированного проектирования ИС СВЧ в значительной степени определяются наличием эффективных вычислительных алгоритмов для расчёта параметров собственных волн полосково-щелевых направляющих структур.
Базовым элементам интегральных схем, как правило, отвечают краевые задачи, неразрешимые в аналитическом виде. Для моделирования электромагнитных полей в направляющих структурах, образованных линейными средами, используются прямые методы, приводящие к однородным системам линейных алгебраических уравнений. Наиболее универсальными являются дискретизационные методы. Сюда, прежде всего, относятся разностные схемы [4], применяемые непосредственно к дифференциальным уравнениям электродинамики и предполагающие замену пространственных производных конечными разностями значений искомых функций в узлах сетки, покрывающей рассматриваемую область. Метод коллокаций подразумевает выполнение решаемых уравнений (дифференциальных или интегральных) в выбранной определённым образом системе точек. При этом неизвестные компоненты напряжённостей поля представляются в виде рядов по некоторым базисным функциям. Относительно коэффициентов этих разложений и записываются получаемые в конечном счёте алгебраические уравнения. Метод коллокаций, так же как и разностные схемы, может быть использован для решения задач с некоординатными границами. В качестве примера можно привести работу Дж. Гоелла [5], в которой исследуются собственные волны открытого прямоугольного диэлектрического волновода. Радиальные изменения продольных составляющих напряжённостей во внутренней и внешней областях представляются суммами цилиндри-
ческих функций. При этом согласование полей осуществляется в точках, расположенных на прямоугольном контуре, ограничивающем диэлектрический стержень.
Группу декомпозиционных алгоритмов составляют метод минимальных автономных блоков и метод автономных многомодовых блоков [6], разработанные В. В. Никольским для решения электродинамических задач. Данные методы предполагают возможность разбиения поперечного сечения направляющей структуры на области, имеющие однородное диэлектрическое заполнение и координатные границы. (Чаще всего это — области прямоугольной формы.) Волновые каналы, соответствующие каждой из таких областей, рассматриваются как независимые электродинамические объекты, описываемые матрицами проводимости или матрицами рассеяния. Математическая модель исходного объекта строится посредством рекомпозиции, т. е. объединения отдельных блоков, дескрипторы которых предварительно найдены.
В настоящее время в электродинамике полосковых и щелевых структур СВЧ наибольшее распространение получили проекционные методы [6-9], в разработке которых большую роль сыграли исследования Г. И. Веселова, А. С. Ильинского, Л. Левина, А. М. Лерера, В. С. Миха-левского, Е. И. Нефёдова, В. В. Никольского, А. Г. Свешникова, Я. Н. Фельда. В процессе исследования волн в полосковой или щелевой линии передачи краевая задача формулируется в виде векторного интегрального уравнения первого рода относительно компонент тока на полосках или составляющих напряжённости электрического поля в щелях. Среди всех описанных численных методов, проекционную схему выделяет возможность учёта особенностей поля на геометрических сингулярностях, — рёбрах проводящих полосок и диэлектрических стержней. Это даёт возможность оптимизировать вычислительный процесс с точки зрения временных затрат и использования машинных ресурсов. При решении задач о собственных волнах направляющих структур, содержащих бесконечно тонкие проводящие полоски, в качестве проекционных базисов обычно применяются системы многочленов Чебышёва первого и второго рода. Исследование волновых полей в линиях передачи с кусочнооднородным диэлектрическим заполнением проводится с использованием многочленов Гегенбауэра.
К преимуществам проекционных методов можно отнести их универсальность и относительную простоту численной реализации. Однако
практическое использование таких методов наталкивается на определённые трудности. Ядра интегральных уравнений первого рода, к которым приводятся внутренние задачи электродинамики, задаются тригонометрическими рядами, содержащими в неявном виде сингулярности Коши и логарифмические особенности. В процессе алгебраизации интегрального уравнения производится усечение данных рядов, в результате чего ядра утрачивают особенности. Но решение интегрального уравнения первого рода с ограниченным ядром представляет собой некорректно поставленную задачу [10, 11]. Это приводит к неустойчивости соответствующих алгоритмов и относительной сходимости приближённых решений.
Пусть, например, 7МЛГ — значение постоянной распространения собственной волны рассматриваемой линии передачи, полученное с учётом М слагаемых в каждом из элементов ядра интегрального уравнения и N слагаемых в проекционных разложениях искомых функций. Явление относительной сходимости [12] заключается в том, что при неограниченном увеличении индексов М и N последовательность 7М„ не сходится к точному решению краевой задачи. В качестве истинного значения постоянной распространения 7 выбирают предел некоторой подпоследовательности 7Д/Л-
7 = &'*'<«•'•
При этом различным зависимостям М(Лг) соответствуют различные пределы, причём задать априори оптимальный закон, связывающий предельные индексы суммирования М и IV, не представляется возможным. Аналогичным образом будет вести себя последовательность приближённых значений любого другого расчётного параметра волны. Явления расходимости приближённых решений свойственны также дис-кретизационным и декомпозиционным методам. В частности, в работе [13] указывается на расходимость коллокационного алгоритма Гоелла, упоминавшегося выше. Поэтому численные результаты, полученные с помощью таких методов, требуют проверки на достоверность.
В связи с этим резко возрастает роль аналитических и численноаналитических методов решения краевых задач электродинамики, опирающихся на учёт специфики исследуемых структур и возможность существенного аналитического преобразования первоначально получаемых интегральных уравнений первого рода. К таковым относится ме-

ГИ*п Дт'/мт1 (|^г) »
Л(т+1) = 4т + 4т1’. С1'58)
/(м+1) _ *(» I #У+1)
^ /*т •'/«т 1 ,//*т >
О’ = 1-2),
* где
4т = 7Ж "т (»/ “ »-0 >

4 == ^ С48Лт (%■ - Уы) »
(УО = 0) .
При выводе соотношений (1.57) полезно учитывать представления ад-митансов
УтП--^(«т2)+72Л^2)),
/ ■ Ртп
гт12 = Ут21 = (/&*> - /&*>) ,
Ут22 = а~? (72/^2) + /З^Л(^2)) ,
* / "Г Рт /1 СЛ
^33 = -^(А142т3> + 72Л%3)).
7 + Рт
Ут34 = Ут43 = А (/№*) - /(2,3)) |
1 “Г Рт
^4 = ^Ж(72/'2т3)+М3)).
а также равенства
(Уо) = -^0, (Ут) = ^£т^т, (т- 1,2,...),
доказываемые непосредственно.
Попутно заметим, что значения 7, при которых величины У£т, (т =
1,2,...) и ^,т, (т — 0,1,...) обращаются в нуль, совпадают, соот-ш ветственно, с постоянными распространения продольных магнитных и продольных электрических волн прямоугольного волновода с трёхслойным диэлектрическим заполнением, идентичного рассматриваемой линии передачи по своим геометрическим и физическим параметрам. В этом легко убедиться, сравнивая У£т, У/1т с функциями, образующими дисперсионные уравнения (П1.22), (П1.23) для определения постоянных распространения собственных волн трёхслойного волновода (см. Приложение 1).