Метод детерминантного представления для корреляционных функций квантовых интегрируемых моделей

• Автор: Славнов, Никита Андреевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 210 с.

1 Координатный анзац Бете
1. Одномерный бозе-газ
2. Магнетик Гейзенберга
3. Нелинейное тождество для фазы рассеяния
2 Корреляционные функции моделей свободных фермионов
1. Непроницаемый бозе-газ
2. Формфактор поля
3. Корреляционная функция полей в состоянии с конечным числом частиц
4. Термодинамический предел
5. Многоточечные корреляционные функции
6. ХХО цепочка Гейзенберга
7. Собственные функции ХУО цепочки
8. Корреляционные функции ХУО цепочки
3 Вычисление корреляционных функций в рамках алгебраического ан-заца Бете
1. Алгебраический анзац Бете
2. Скалярные произведения и дуальные поля
3. Корреляционные функции обобщенной модели свободных фермионов
4. Тождество для дуальных полей
5. Частные случаи скалярных произведений и формфакторы
6. Корреляционная функция локальных полей одномерного бозе-газа в конечном объеме
7. Коррелятор в термодинамическом пределе
4 Фредгольмовы детерминанты, задача Римана и дифференциальные уравнения
1. Свойства интегральных операторов
2. Иерархия АКНС
3. Дифференциальные уравнения для корреляционной функции полей непроницаемого бозе-газа

4. Система векторных нелинейных уравнений Шредингера дня многоточечной корреляционной функции
5. Дифференциальные уравнения для корреляционных функций ХХО
магнетика
6. Дифференциальные уравнения для корреляционных функций проницаемых бозонов
5 Асимптотика корреляционных функций
1. Оценка фредгольмова детерминанта при большом времени
2. Операторнозначная задача Римана
3. Локализованная задача Римана
4. Дифференциальные уравнения
5. Модифицированный подход. Сдвинутая седловая точка
6. Отображение усреднения
7. Предельные случаи асимптотики
Заключение
Приложения
1. Пределы “сингулярных” сумм
2. Представления дуальных полей
3. Регуляризованный интегральный оператор
Библиография

Теория интегрируемых систем занимает особое место в современной математической физике. Возможность получения точных непертурбативных решений в таких моделях представляется необычайно важной. Несмотря на значительный прогресс численных методов, точно решаемые задачи сохраняют свое значение как модели для изучения общих закономерностей поведения сложных нелинейных систем.
В настоящей диссертации развивается новый подход к исследованию корреляционных функций квантовых интегрируемых систем, основанный на методе, который впервые был применен еще в 1931 году Г. Бете для изучения антиферромагнетика Гейзенберга [65]. Впоследствии анзац Бете активно использовался для решения большого числа задач квантовой механики [1, 84, 126, 127, 128, 129, 146] и статистической физики [59]—[61]. Несмотря на то. что в перечисленных работах рассматривались (1 + 1)-мерные системы, многие из этих систем находят непосредственное применение в физике. Здесь прежде всего следует отметить работы [57], [139] по проблеме Кондо. решение модели Хаббарда, используемой в теории высокотемпературной сверхпроводимости [125], описание спонтанной эмиссии в нелинейной оптике [36] и др.
В конце семидесятых теория интегрируемых моделей квантовой механики получила новый мощный импульс и, начиная с этого времени, является одной из наиболее бурно развивающихся областей современной математической физики. Интенсификация исследований в этом направлении связана с созданием в 1978-1980 годах Л. Д. Фаддеевым и его школой квантового метода обратной задачи (КМОЗ) [39, 50, 40, 37, 52, 74, 75, 38, 19, 120]. Одной из важнейших составных частей КМОЗ является метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), возникновение которого принято связывать с работой К. Гарднера. Д. Грина, М. Крускала и Р. Миуры о решении уравнения Кортевега-де Фриса [83]. Этапными в развитии МОЗР являются также работы П. Лакса [121]. где впервые было введено понятие Ь — А пары, и работа В. Б. Захарова и А. Б. Шабата [11], открывшая возможность применения данного метода к широкому классу классических нелинейных уравнений. Современное состояние теории классических точно решаемых систем отражено в целой серии монографий [58. 9, 51] и др. С точки зрения квантования наиболее плодотворным оказался гамильтонов подход в МОЗР, предложенный в [10] (см. также [51]). В свою очередь развитие КМОЗ оказало обратное влияние на МОЗР; в частности, понятие классической г-матрицы впервые появилось в работе Е. К. Склянина [38] в результате квазиклассического предельного перехода из квантовой задачи. Позднее была

совпадающих {д}. но различных наборах {г,}. Принимая во внимание нормировку состояний |рі;...-Рм)-. мы имеем
(Ф^({д}:{г})Іфя({д}:{?})) = П(1 +а(мі:п)а(иі:гі))-
Так как а(и.г)а(и. —г) = — 1 (см. (7.10)); то правая часть обращается в ноль, если хотя бы две переменных гиг различны. Таким образом, состояния (7.8) действительно дают ортогональный базис собственных функций ХУ0 цепочки с нормировкой
-М|Ф^({фЬ-{>})) = П(і + И«і:Гі)|2У (7.12)
І=1 4 '
Подставляя выражение для су.(и. г) в (7.9). получаем для собственных значений Ем следующее выражение
к я к МЬ.
Ем = ХХ(и0 + ХХЫ + Х>;£Ы/?М “ (7-13)
г=1 а=1 г
Первые две суммы в (7.13) вычисляются явно. В результате при четных N имеем

Ем = ^гМи{Щщ). (7.14)

Для нечетных N ответ зависит от того, присутствует ли частицы с квазиимпульсами 0 и —тг в наборе {д}. Несложные вычисления дают

Ем = ХХ*£(м*)^М _ 0; _1Г І Ш:
1 = 1 К
Ем = ХХ^Ю^Ы + Ь- 0; -к Є {д}:

Ем = XI(■“.') - 1; О Є {«}■. -я І {?}•
1=1 к
Ем = Х)г<е(«0/?(«0 + 1- 0 І і14}; Є {д}-
(7.15)
8. Корреляционные функции ХУО цепочки
Имея явные выражения для собственных состояний гамильтониана ХУ0 цепочки, мы теперь можем вычислить корреляционные функции в этой модели. Поскольку собственные состояния Ф^ построены в базисе собственных функций гамильтониана модели ХХО. то фактически вычисление средних сводится формулам раздела
б. Продемонстрируем это на двух примерах. В первом случае мы вычислим коррелятор оператора ехр{£ф1 (т.)}. введенного в (6.18) по основному состоянию |Ф0) в