Матричные модели и геометрия пространства модулей

• Автор: Чехов, Леонид Олегович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 172 с.

Оглавление
0 Введение.
1 Пространства модулей и матричные модели.
1.1 Непрерывное пространство модулей Мд<п.
1.1.1 Обозначения
1.1.2 Пространство модулей алгебраических кривых и его параметризация через дифференциалы Штребеля-Дженкинса.
1.1.3 Геометрия расслоений на Мд>п и матричный интеграл.
1.2 Дискретное пространство модулей.
1.2.1 Матричная модель Концевича-Пеннера.
1.2.2 Пространства модулей и дискретные когомологии де Рама.
1.2.3 Матричный интеграл для дискретизованного пространства модулей.
1.3 Приложение А. Пространство модулей М д.
1.4 Приложение В. Пертурбативное решение для {{г ... тп)).
2 Вычисления в матричных моделях в разложении по родам
2.1 Определения
2.1 Л Оператор вставки петель.
2.1.2 Петлевое уравнение.
2.1.3 Новые переменные.
2.2 Процедура итераций.
2.2.1 Структура и ¥д{р).
2.2.2 Итеративная процедура для определения Уд(р).
2.2.3 Итеративная процедура для Рд.
2.3 Двойной скейлинговый предел
2.3.1 Критические точки.
2.3.2 Процедура нахождения УУд{р) в двойном скейлинговом пределе.
2.3.3 Нахождение Fg в д.с.п.
2.3.4 Предельная процедура.
2.3.5 Эквивалентность д.с.п. и ММК. Моменты ММК.
2.4 Приложение. Модель комплексных матриц.
2.4.1 Д.с.п. в модели комплексных матриц.
3 Уравнения связей в матричных моделях.
3.1 Времена матричных моделей.
3.2 Алгебра Вирасоро в 1ММ.
3.3 Уравнения Швингера-Дайсона и алгебра Вирасоро в ММК.
3.4 Уравнения Швингера-Дайсона для ММКП.

3.5 Эквивалентность ММКП и 1ММ.
3.5.1 Явное решение 1ММ в терминах ОМК.
3.5.2 Двойной скейлинговый предел ММКП.
3.6 Матричная модель суперструны ІІВ.
3.6.1 Матричная модель КВІ в пределе больших N.
3.6.2 Фаза Концевича.
3.6.3 Уравнения ШД в фазе Концевича.
3.6.4 Сравнение моделей НВЙ и Концевича при больших N.
3.6.5 Выражения для старших родов.
3.6.6 Эффективное действие и мера.
3.7 Двухлогарифмическая матричная модель с внешним полем.
3.7.1 Сравнение пределов N —> ос.
3.7.2 Условия связи.
3.7.3 Выражения для старших родов.
3.7.4 Детерминантные формулы.
3.7.5 Струнные восприимчивости.
3.7.6 Заключение.
4 Точные соотношения между матричными интегралами Концевича-Пеннера и Концевича.
4.1 Соотношение между моментами и переменными д.п.м.
4.2 Алгебра времен і%п.
4.3 Уравнения Швингера-Дайсона во временах п.
4.4 Алгебра связей Ьа+1.
4.5 Матричные модели с точки зрения конформной теории поля.
5 Заключение.
Приложение А Эрмитова матричная модель с четвертичным взаимодействием.
А.1 Введение.
А.2 Уравнение седловой точки.
А.З Переход к (Э(п)-модеди.
А.4 Решение.
А.5 Случай потенциала второго порядка.
А.6 Граничные уравнения.
А.7 Струнная восприимчивость.
А.8 Критическое поведение.
А.8.1 Случай п е] - 2,2[.
А.8.2 Случай п = ±2.

A.9 Условия Вирасоро.
Приложение В Матричная модель Пеннера для неориентируемых струн.
B.1 Введение.
В.2 Модель Пеннера для неориентируемых поверхностей.
В.З Решение модели Пеннера в случае вещественных симметричных матриц.
В.4 “Экзотические” модели Пеннера.
В.4.1 Модель Пеннера в случае матриц 5р(2ЛГ).
В.4.1 Двухматричная модель Пеннера.
В.5 Обсуждение и связь с интегрируемыми моделями.
Список литературы

Заметим, что “техническая” причина, по которой (0.10) содержит зависимость только от 1г Ак (к < 0), состоит в том, что эта модель, как и ММК принадлежит классу обобщенных моделей Концевича (ОМК) (0.9) ([62, 168, 112]). Это означает, что после некоторого простого преобразования модель (0.10) сведется к модели с потенциалом т]Х + 4(Х), которая зависит только от мивовских времен.
1.2.2 Пространства модулей и дискретные когомологии де Рама.
Введем дискретизацию пространств модулей Л4дп и Л4ггЬ. При этом предполагаются разрешенными следующие значения параметров 1г:
li 6 и {0}, р,- € %+, р{ € 2/+. (1.25)
Таким образом, все и рг- будут целыми, но некоторые из 1г могут обращаться в ноль, в то время как все периметры остаются строго положительными. Сумма всех периметров четна4 поскольку каждое ребро считается дважды при вычислении этой суммы. Это (комбинаторное) пространство называется Мд<п . Следует отметить, что теперь явно включены в рассмотрение те точки исходного пространства Л4Р1„, которые являются точками редукций (сингулярные кривые) и кривизны (орбифолд-ные точки, стабильные при действии некоторой неединичной подгруппы (стабилизирующей подгруппы) группы симметрий пространства Тейхмюллера). При фиксированных Рз, в общем случае можно положить равными нулю многие 1у. Некоторые из этих конфигураций лежат “внутри” пространства Мд<п, но далеко не все - среди точек имеются и точки, лежащие на границе5 дМд,п и отвечающие сингулярным кривым. обозначает такое подмножество Мд”с, из которого исключены
все точки редукций. Такой выбор д.я.м. представляется естественным, так как все величины (1.5)-(1.8) при этом имеют свои дискретные аналоги.
Сначала определим действие внешней произвольной (I и интегрирование до таким дискретным (орби)пространствам. Выпишем действие с1 на функциях, а его продолжение на пространства антисимметричных форм будет очевидно:

Интеграл по области О, имеет свой дискретный аналог:
/ ]Г Д1Ь...Д*). (1-27)
/;€2+и{0}
{'1 Ч}6«
4Это вполне тривиальное наблюдение оказывается довольно важным. Так, в дальнейшем из него следует удвоение числа времен данной модели.
°которая в данном случае - сингулярные подорбифолды замкнутого клеточного комплекса