Космологические модели Фридмана в обобщенной гамильтоновой динамике

• Автор: Палий, Юрий Григорьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 111 с.

Содержание
Введение
Глава 1 Обобщенный гамильтонов формализм Дирака для систем со связями в приложении к теории гравитации Эйнштейна
1.1 Обобщенный гамильтонов формализм и методы редукции
1.2 Гамильтонова формулировка гравитации
1.3 Квантование гравитации методом Уиллера - ДеВитта
Глава 2 Действие для полевых моделей Фридмана
2.1 Уравнения Эйнштейна - Фридмана
2.2 Действие Гильберта для моделей Фридмана в 3-1-1 разбиении
2.3 Результаты
Глава 3 Гамильтонова редукция моделей Фридмана со скалярным полем
3.1 Скалярное поле с минимальной связью
3.2 Модель с конформным скалярным полем
3.3 Наблюдаемые
3.4 Преобразование Ббкенштейна
3.5 Результаты 65 Глава 4 Особенности редукции моделей со спинорными полями
4.1 Массивное спинорное поле
4.2 Модель с конформными скалярным и спинорным полями
4.3 Результаты
Глава 5 Квантование
5.1 Связь уравнений Уиллера - ДеВитта и Шредингера
5.2 Сравнение эволюции классической и квантованной систем
5.3 Результаты

Заключение
Приложения
А Гамильтонова редукция на примере релятивистской частицы
В Метод Остроградского для исследуемых моделей
С Конформная группа в пространстве Робертсона - Уокера
Б Гамильтониан как следствие конформной симметрии
Литература

Введение
В 1922 году A.A. Фридман применил уравнения общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна к описанию Вселенной в целом, предположив однородность и изотропность пространства, заполненного веществом в виде идеальной жидкости с заданным уравнением состояния [1]. Найденные им решения кардинально изменили существовавшие космологические представления, Вселенная оказалась нестационарной. Подтверждением этого фундаментального предсказания фридмановской космологии стало крупнейшее открытие в астрономии нашего века - ” красное смещение” в спектре галактик [2]. Однако при описании раннего этапа развития Вселенной модель столкнулась с трудностями. Эти трудности связаны с известным фактом, что в решениях уравнений Эйнштейна при очень общих предположениях присутствуют геометрические сингулярности [3]. Метрика не может оставаться регулярной вне конечного промежутка собственного времени, т.е. неизбежен гравитационный коллапс, тем самым применимость классических решений ограничивается. Последовательное рассмотрение планков-ских расстояний и времен требует учета квантовых эффектов, связанных как с квантовой природой полей вещества, так и самого гравитационного поля [2]
На пути построения квантовой гравитации существует ряд проблем как принципиального, так и технического характера. Среди них отметим непе-ренормируемость теории, связанную с размерностью константы Ньютона [6], и вопросы интерпретации вектора состояния, описывающего квантовую Вселенную, для которой не существует внешних классических приборов. Необходимость разрешения трудностей квантовой теории гравитации стимулировало развитие самой классической теории. Каноническая схема квантования будучи основана на гамильтоновом формализме потребовала выхода за рамки известных представлений классической теории. Поиски гамильтоновой формы теории гравитации Эйнштейна привели к созданию нового обобщенного гамильтонова формализма для вырожденных динамических систем [7, 8]. Вырожденная система имеет функционал действия, инвариантный относительно локальных преобразований обобщенных координат (в ОТО - общекоординатные преобразования), т.е. преобразований с параметрами, которые являются произвольными функциями от
'При этом считается [4], что гравитационное поле может сыграть роль естественного ’’физического регуляризатора”, устраняющего бесконечности присущие локальной квантовой теории поля и своего рода поля Хиггса единых теориях фундаментальных взаимодействий [5].

где введены операторы
5 , iS г5

i (1.136)
Волновую функцию Ф надо считать зависящей от компонент 4-метрики дщ,. Согласно первичным связям, Ф зависит только от пространственных компонент Связь Нг = 0 имеет вид
=0 (1.137)
1у
и означает, что Ф инвариантна относительно координатных преобразований. 10 Условие
По{ = 0. (1.138)
известно как уравнение Уиллера - ДеВитта (УДВ). Его явный вид следующий
ОГЬц ОНк1
где введена так называемая суперметрика
Ф(Лу,р)=0, (1.139)
Gi]kl — 2 {hikhji + huhjk hijhj-i'j (1.140)
на бесконечномерном пространстве всевозможных 3-геометрий Riem, ( Е ), определяемом следующим путем. 3+1 Разбиение пространства-времени М приводит к его расслоению 3-мерными поверхностями Е. Рассмотрим ри-маново пространство Riem ( Е ), заданное в каждой точке поверхности Е. Точками Riem ( Е ) являются возможные римановы метрики на Е. Одну и ту же метрику можно записать в различных системах координат. Это значит, что в Riem ( Е ) различным точкам соответствует одно и то же физическое состояние - геометрия поверхности Е. Обозначим допустимые (в данном случае кинеметрические) преобразования координат символом Di ff ( Е ). Суперпространство S ( Е ) получается факторизацией пространства возможных метрик Riem ( Е ) по группе диффеоморфизмов
Di ff ( Е )
S ( Е ) = Riem ( S )/Diff ( Е ). (1.141)
В общем случае проблема его выделения не решена и для реально решаемых задач используют суперпространство S ( Е ) определенной, невысокой
9В квантовой гравитации естественна система единиц h = с = 2к = 1. При этом все величины безразмерны, за единицу любой величины берется ее планковское значение.
10Согласно ДеВитту [19] Ф зависит в замкнутом мире только от геометрии 3-пространства 3(/, а в случае открытого пространства Ф зависит от асимптотических координат.