Квантовые состояния и динамика спиновых систем и электромагнитного поля в представлении томографической вероятности

• Автор: Филиппов, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Долгопрудный
• Количество страниц: 172 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Квантовые состояния систем с дискретными переменными
1.1. Геометрические свойства чистых и смешанных состояний
1.2. Общая схема построения томографических отображений
1.3. Новые результаты в спиновой томографии
1.4. Схемы квантования с внутренней симметрией
1.5. Меры различия и статистическое сравнение квантовых состояний
1.6. Квантовое поведение томографических вероятностей
1.7. Составные спиновые системы
Глава 2. Квантовые, состояния систем с непрерывными переменными
2.1. Томографические отображения состояний электромагнитного поля
2.2. Оптическая томография суперпозиций фоковских состояний
2.3. Точность и операционное использование оптических томограмм
2.4. Упорядоченные моменты операторов рождения и уничтожения фотонов и
измерение квантовых состояний СВЧ-излучения
2.5. Двухмодовые состояния электромагнитного поля и сцепленность
Глава 3. Динамика квантовых систем
3.1. Эволюция составных спиновых систем в томографическом представлении
3.2. Эволюция упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов
3.3. Динамика сцепленности
Заключение
Список литературы
Приложение А. Плотности состояний
Приложение Б. Двухкубитный портрет томограммы счёта фотонов

Введение
Актуальность работы. Экспериментальная физика и теоретическая физика неразрывно связаны друг с другом общей целью — всесторонним изучением явлений природы, свойств материи и её динамики. В квантовой физике эта связь проявляется особенно ярко: опытные факты привели к разработке постулатов квантовой механики, сформулированных на математическом языке и позволивших объяснить известные и установить новые зависимости между физическими величинами, характеризующими то или иное квантовое явление. Область практического применения квантовой механики постоянно расширяется, вовлекая в себя такие актуальные направления как квантовые вычисления и квантовая теория информации.
Значительный прогресс в технике и методах экспериментальной физики позволяет в настоящее время не только наблюдать за квантовыми свойствами одиночных объектов (атомов, электронов, фотонов) и их ансамблей, но даёт принципиальную возможность контролируемым образом воздействовать на такие объекты, манипулировать ими, а также создавать и управлять исскуственными атомами. Такими возможностями обладают современные квантовая оптика, атомная физика, квантовая электродинамика резонаторов и электрических цепей, наноэлектроника и другие смежные направления. На первый план в этих экспериментах выходит понятие «состояния» квантового объекта: оно описывает все свойства объекта, эволюционирует в соответствии с прикладываемыми внешними воздействиями (в картине Шредингера) и подлежит экспериментальному наблюдению. Последнему обстоятельству долгое время не уделялось должного внимания ввиду сложности самого понятия квантового состояния — волновой функции ф(х) = (.хф) для изолированной системы или оператора плотности р для общего случая открытой системы или ансамбля частиц. Данные объекты не наблюдаются непосредственно в эксперименте. Наблюдению подлежат распределения вероятностей, например, ф(х)2 и (хрх), связанные с измерением некоторой физической величины (координаты х). Такие распределения не содержат информации о фазе волновой функции и недиагональных элементах матрицы плотности, поэтому каждое из подобных измерений в отдельности не определяет квантовое состояние. Задача квантовой томографии, впервые сформулированная Паули [31], состоит в нахождении некоторого числа измерений, позволяющих точно определить квантовое состояние, а также в нахождении самого соотношения, связывающего |) или р с

измеряемыми распределениями вероятностей. Такие распределения вероятностей называют томографическими, а их совокупность — квантовой томограммой.
Актуальность квантовой томографии заключается в том, что она совершенно необходима для полного анализа воздействия окружения на динамику системы, контроля за качеством управления квантовыми состояниями, а также в квантовых вычислениях для считывания конечного результата вычисления. Так как томограмма содержит полную информацию о квантовом объекте и доступна экспериментальному наблюдению, естественно рассматривать квантовые явления на языке измеряемых характеристик, т.е. в представлении томографической вероятности. Актуальная задача теории состоит тогда в установлении зависимостей между томограммой и физическими характеристиками состояния (такими как энергия, параметр чистоты Ттр2, запутанность), а также в нахождении уравнений динамики для томограмм.
Для анализа состояний спиновых систем в 1997 г. была разработана спиновая томография [28, 105], однако до настоящего времени не было найдено физического представления операторов, используемых для восстановления оператора плотности, не рассматривались вопросы минимизации избыточной информации, вычисления в явном виде некоторых характеристик состояния и интегральных ядер, уменьшения ошибок восстановленного состояния, сравнения квантовых состояний по экспериментально наблюдаемым распределениям вероятностей. Требовали рассмотрения также общая схема построения томографических отображений, процедура восстановления состояний на основе измерений симметричного набора физических величин, а также построение томограмм составных спиновых систем и установление связи между томограммой и измеряемыми распределениями в экспериментах с мюонами.
В весьма тонких экспериментах по гомодинному детектированию квантовых состояний электромагнитного излучения [63, 74, 170, 176, 213, 219, 222, 229, 243], позволяющих экспериментально определить оптическую томограмму, ввиду статистической природы исходов квантовых измерений до сих пор не была решена проблема оценки ошибок и операционного использования данных. С другой стороны, говорить об измерениях имеет смысл только тогда, когда известна их точность. Кроме того, активное изучение сверхлро-водниковых квантовых битов (искусственных атомов) вызвало необходимость исследования квантовых состояний электромагнитного поля микроволнового диапазона длин волн (сверхвысокой частоты), где паразитные (тепловые) шумы выходят на первый план. Вли-

Рис. 1.5. Коэффициенты {/5гп)}1г=_5, определяемые значениями дискретного полиномома Чебышева іб(5 + т, 11) (вертикальные столбцы). Многочлен 6 степени (ж) = (11т6 — 415т4 +
3764т2 - 4800)/240л/2805 (кривая линия).
связь позволяет найти явный вид коэффициентов
АЛ(т)
(-1)V2L+I
y/(2j + L + l){2j-L)
(—l)k(L + k)(2j — k) f j + m k(L — k)
(1.49)
Заметим, что АА(т) = {зт, Ь0jtri). Связь коэффициентов {т)Ут= и поли-
нома /А (т) проиллюстрирована на рис. 1.5 для случая у = 5, А = 6.
Из доказательства утверждения 4 следует, что явный вид коэффициентов /т) и оператора 5 (п) можно установить из реккурентного соотношения (1.44). Альтернативный метод заключается в решении системы (1.46), которую можно записать в следующей матричной форме
( Ш)

0,2) о

04) о

О'.з)

0 0 0 ... N
0 0 0 ... h
43,2) 0 0 ... А
0 ь<£’3) 0 ... Н
£'4) 0 а{Іл) ... п
) {)
(1.50)
Явный вид коэффициентов АА an(i Ak+i может быть найден, если использовать свойство ортогональности tr[55] = SL Li. В самом деле, так как число слагаемых в разложениях (1.46) увеличивается на единицу при увеличении L на единицу, то любой оператор Sn