Асимптотики однопетлевого эффективного действия квантовых полей с эллипсоидальным законом дисперсии

• Автор: Шипуля, Михаил Алексеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Асимптотики однопетлевого эффективного действия
1.1. Введение
1.2. Эффективное действие при конечной температуре
1.3. Разложение для осциллирующей части
1.4. Казимировский вклад
1.5. Разложение квазиклассического вклада по полюсам
1.6. Условия применимости
1.7. Пересуммирования
1.7.1. Суммирование по полюсам
1.7.2. Суммирование по в одномерном случае
1.7.3. Вклад от полюсов, близких к вещественной оси
1.8. Квазиклассический вклад
1.8.1. Нерелятивистский предел
1.8.2. Высокотемпературная асимптотика
1.9. Выводы
2. Асимптотики эффективного уравнения движения
2.1. Введение
2.2. Эффективное уравнение движения
2.3. Физические решения
2.4. Планарные физические решения
2.4.1. Линейное движение
2.4.2. Планарное движение
2.5. Уравнение второго порядка
2.6. Асимптотики
2.7. Уравнение Ландау-Лифшица
2.8. Стабильность асимптотик
2.9. Возможная интерпретация
2.10. Выводы
3. Асимптотики спектральных серий
3.1. Введение
3.2. Спектральная задача
3.3. Поляризационное уравнение
3.4. Уравнение типа Хартри
3.5. Уравнение типа Хилла
3.5.1. Операторы симметрии
3.5.2. Система Гамильтона-Эреифеста

3.6. Явный вид решения
3.7. Выводы
4. Примеры вычисления асимптотик
4.1. Безмассовые частицы
4.1.1. Нулевой химический потенциал
4.1.2. Ненулевой химический потенциал
4.2. Массивные заряженные частицы
4.2.1. Электроны в поле накопителя
4.2.2. Электроны в металлической пластине
4.3. Выводы
Заключение
A. Регуляризация функционального интеграла. Бозоны
Б. Регуляризация функционального интеграла. Фермионы
B. Регуляризация в классической электродинамике

Введение
На сегодняшний день существует лишь ограниченный круг задач квантовой теории поля, для которых известен точный ответ в явном виде. Основная масса вычислений, связанных с исследованием квантовых систем, проводится, так или иначе, с применением разнообразных асимптотических методов. Все эти методы связаны с различного рода приближениями, которые возможно применить при определенных предположениях относительно исследуемой системы. При этом, как правило, оказывается, что ответ, полученный при одних значениях параметров, перестает удовлетворительно аппроксимировать решение в другой области. В результате этого применение какого-то одного из конкретных методов вычислений не позволяет исследовать систему в другом режиме и требует развития существующих асимптотических методов.
Именно такая ситуация и наблюдается сейчас в литературе относительно квантовой теории поля при конечной температуре: большинство вычислений проводятся в рамках теории возмущений, связанной с квазиклассическим приближением. Этот метод, по сути, является ВКБ-асимптотикой. Он оказывается очень эффективным при исследовании систем с самодействием и нелинейным взаимодействием. С помощью этого метода в том случае, когда точное решение задачи найти не представляется возможным, удается выделить основной вклад и, в дальнейшем, проводить вычисления по теории возмущений, основываясь на малом отклонении от главных “квазиклассических” значений физических величин. При исследовании систем с конечным числом степеней свободы в качестве малого параметра для теории возмущений можно выбрать отклонение траектории частиц от их классических значений. Как известно, квазиклассические волновые функции сосредоточены вблизи классической траектории частиц и, кроме того, минимизируют принцип неопределенности Гейзенберга. Благодаря этим свойствам квазиклассических асимптотик в диссертационной работе удалось с любой требуемой точностью аппроксимировать решение системы зацепляющихся нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Гросса-Питаевекого (ГП). Данное уравнение описывает динамику полей системы двухкомпонентного бозе-эйнштейновского конденсата (БЭК), состоящего из атомов одного сорта, находящихся в различных квантовых состояниях во внешнем удерживающем поле. Его решение в рамках квазиклассического приближения сводится к решению квазиклассически-ассоциированного линейного уравнения Шрёдингера, что существенно упрощает построение дальнейшей теории возмущения.
Однако, при всех своих преимуществах, ВКБ-асимптотика, к сожалению, также имеет и ряд слабых сторон. Метод “теплового ядра” развит, в основном, для систем с релятивистским законом дисперсии и предполагает степенное поведение асимптотического ряда для вычисляемых физических величин, а, следовательно, не может учитывать возможные экспоненциально подавленные вклады. В физике конденсированного состояния вещества классический пример таких вкладов - осцилляции физических величин, таких как, например, химический потенциал или магнитная восприимчивость электронов проводимости в металлах. В данном случае ВКБ-метод не может учитывать экспоненциально

где 7 > 0 и и 1(у) - аналитическая функция от 7. Тогда, последовательно разлагая выражения в ряды, получим
ОО / 1 fc
(u-'iß-'y + ß) -т2)Ф = ДД)r>4l2~k™2ktf(ß~1yyW2~k)~l~Px
7 , к.ь,
к,р,1=О
r(d/2+l)r(7(d/2-fc)-p+l) r(d/2 + 1 — fe)r(7(d/2 — к) — l — р+1)’ 1 ' J
Этот степенной ряд сходится, если у > ßR при достаточно большом R независимо от обратной температуры ß.
Далее, необходимо воспользоваться известным представлением неполной С-функции:

= (1 - а'лгмсм - Е(1
е* + 1 v Е—Л JT(n + l)(u + n)
п=О v
’ , а:1'“1 (-1)"(-п)а'/+ге
dx = r(i/)C(i/) — 7
ех — 1 J Г(гг + 1)(г/ + п)
П=—1 V
(1.99)
Для бозонов это выражение верно всюду внутри окружности |о| < 2я, в то время, как для фермионов - внутри окружности с радиусом |а| < я. Функции в верхней части комплексной плоскости равномерно зависят от параметра гл Разделим теперь область интегрирования в (1.96) на две части: [/За;о,/ЗЛ] и [/ЗД,+оо). Обозначим соответствующие интегралы как г и гг- Затем, для достаточно малых /3, применим формулу (1.99) ко второму интегралу *2. Совершим замену (1.98) в н, проинтегрируем полученный ряд почленно, В результате полное разложение интеграла *2 разделяется на две части, как и в (1.99). В первом вкладе в гг разложение записано в терминах увеличивающихся степеней малого /3, оно имеет конечное число членов, и, соответственно, ограничено по степени /3. Для бозонов
ДЕ 1лк Л12-к 2кй1в1(к-сЦ2)+1+р
Ь = + Е 1 Ч
шгда+1 -ц х Г(7(й/2 — к) — р+ 1)С(Э'( где (/ЗД) может быть записан в интегральной форме

где параметры d и 7 должны быть выбраны таким, чтобы интеграл сходился, и, после интегрирования, продолжены до своих физических значений. Согласно известному разложению в ряд Тейлора для функции (еу — I)-1 по у в окрестности нуля, разложение

dyyn(u-ß'1y + fi)-m2)d/2, (1.101)