Автоколебательные и стохастические процессы в некоторых модельных динамических системах

• Автор: Тулебаев, Салават Дильмухаметович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 133 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава I. Модели нелинейных систем и методы их исследования
§1. Нелинейные системы и динамический хаос
§2. Методы исследования динамических систем
Глава II. Бифуркации периодических решений моделей с квадратичной и неполиномиальной нелинейностью
§3. Устойчивость стационарного решения
§4. Бифуркация стационарного решения и рождение
предельного цикла
§5. Бифуркации периодических решений в модели
Гарела-Росслера
§6. Аттракторы модели автогенератора с управлением по частоте и влияние внешнего воздействия
Глава III. Поведение нелинейных динамических систем при наличии внешних шумов
§7. Бифуркации в динамических системах с шумом
§8. Уравнение Фоккера-Планка для квазилинейных
динамических систем
§9. Влияние внешнего шума на динамические системы
Заключение
Список литературы

Введение
На первых этапах количественного описания явлений окружающего мира практически все разделы физики ограничивались изучением равновесных или квазиравновесных состояний и процессов. Разнообразие и сложность физических задач на “динамическом уровне” оказались столь велики, что поначалу допущения о малости полей, слабости возмущений и т.п. представлялись совершен-' но естественными и использовались как практически единственная возможность “оторваться от квазиравновесности”. Так было в оптике, акустике, электродинамике и большинстве других разделов физики. Подобная ситуация стимулировалась еще и тем, что в руках экспериментаторов большей частью имелись лишь весьма слабые поля.
В результате принцип суперпозиции, то есть представление о том, что аддитивность причин приводит к аддитивности же следствий, стал настолько привычным, что даже казался универсальным ключом к пониманию и количественному описанию большинства физических проблем. При решении проблем физической науки, не связанных с существенными отклонениями от состояний равновесия, теория ограничивалась линейными (точнее, линеаризованными) динамическими моделями. Хотя уже тогда ограниченность “линейной физики” была достаточно очевидна, “линейный” подход еще долго оставался в физике преобладающим.
Но в начале XX века число нелинейных проблем, требующих неотложного решения, начало лавинообразно расти. Важность исследования нелинейных явлений была понята прежде всего в механике. Эти исследования привели в последующем к разработке
Н.Н.Боголюбовым широко известных ныне асимптотических мето-

дов в теории нелинейных колебаний [1].
К 30-м годам нелинейные задачи стали актуальными в акустике, физике твердого тела, статистической механике. Принципиально нелинейные задачи ставились практическими потребностями радиотехники (детектирование и генерация колебаний), они возникали и в других прикладных проблемах (теория автоматического регулирования и т.д). Однако математические вопросы в столь различных областях физики и техники казались специфическими для каждой частной проблемы и не связанными друг с другом.
Тогда же было понято, что отсутствие аддитивного отклика физических систем на аддитивные воздействия (знание частных решений недостаточно для построения решения уравнений динамики), является наиболее общей ситуацией и нелинейные проблемы из различных областей физики и техники оказываются очень сходными и требуют единого подхода к их математическому описанию. Среди физиков различных специальностей начало вырабатываться “нелинейное мышление”, и разные области науки начали перенимать “нелинейный опыт” друг друга. Именно тогда в работах Л.И.Мандельштама, Б.Ван-дер-Поля, А.А.Андронова и других была создана теория нелинейных явлений (см., например, [2-5]).
Возрастание интереса к исследованию систем нелинейных уравнений также объясняется открытием явления динамического хаоса, которое было сделано относительно недавно [6-11]. Один из основополагающих научных принципов заключается в том, что детерминированные системы по своей сути являются предсказуемыми: при заданных уравнениях, описывающих некоторую систему, и начальных условиях для этих уравнений поведение системы может быть предсказано на любой интервал времени. Открытие хаотических систем доказало ограниченность такой точки зрения. Иначе гово-

Метод сечений Пуанкаре
Как мы уже отмечали, большинство динамических систем может быть описано системой п обыкновенных дифференциальных уравнений
х{Ь) = Р(х, Ь) (2.6)
где х - вектор из Л" (фазового пространства), а Л - векторное поле над этим пространством. Например, такой вид имеют законы, управляющие поведением различных осцилляторов (с помощью подходящей замены переменных мы всегда можем преобразовать одно дифференциальное уравнение п-го порядка в систему п дифференциальных уравнений первого порядка).
Система дифференциальных уравнений типа системы (2.6) называется потоком в Ка. Если Л не зависит явно от времени, а зависит только от х:
С =ЦЭД),
то поток называется автономным.
Найти аналитическое выражение для решений уравнений (2.6) удается лишь в отдельных частных случаях, когда поток интегрируем. В большинстве случаев поток неинтегрируем, и нам приходится исследовать каждое решение, рассматривая соответствующую ему траекторию в фазовом пространстве. Поскольку часто и это бывает довольно затруднительно, то можно упростить задачу, используя для этого метод, развитый А.Пуанкаре [63].
Теоретически не существует никаких ограничений на размерность п фазового пространства. Однако при описании метода, из соображений практического порядка, мы ограничимся трехмерным случаем. Кроме того, нас будет интересовать только асимптотическое поведение системы при і —> ОС.