Исследование некоторых проблем устойчивости и хаотического поведения в небесной механике

• Автор: Шевченко, Иван Иванович
• Шифр специальности: 01.03.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 257 с. : ил.

Оглавление
Введение
Л) Алгоритмы нормализации гамильтоновых систем и методы компьютерной алгебры
1.1 Разложение гамильтониана в ряд Тейлора
1.2 Линейная нормализация
1.3 Нелинейная нормализация
1.4 Реализация алгоритмов на ЭВМ
1.4.1 Программный комплекс на языке РЕДЬЮС
1.4.2 Примеры применения комплекса «Норма»
1.4.3 Программный комплекс на языке МЕЙПЛ
1.4.4 Пример применения комплекса «НФ»
1.5 Выводы
('2/ Исследование вращательной динамики спутника методами компьютерной алгебры
2.1 Гиперболоидальная прецессия динамически-симметричного
спутника. Нормальные формы гамильтониана
2.1.1 Исходная гамильтонова система
2.1.2 Нормализация системы
2.1.3 Аналитическая сложность нормальных форм
2.1.4 Приложение к анализу устойчивости
2.2 Случаи цилиндрической и конической прецессий
2.3 Либрации несимметричного спутника относительно центра
масс на круговой орбите
2.3.1 Нормализация и интегрирование системы

2.3.2 Реализация аналитических вычислений
2.3.3 Сравнение аналитического решения с численным
2.3.4 Погрешность аналитического решения в зависимости от времени
2.4 Выводы
3; Метод численного вывода аналитических выражений
3.1 Теоретические основы метода численного вывода
3.2 Программная реализация метода численного вывода
3.3 Выводы
,-4) Хаотическая динамика астероидов: скачки эксцентриситета
4.1 Качественный характер распределений интервалов между скачками эксцентриситета
4.2 Статистический анализ орбит со скачками эксцентриситета
4.3 Теоретическая интерпретация: эффект критического движения
4.4 Выводы
ГЪ) Эффекты перемежаемости и сепаратрисное отображение
5.1 Сепаратрисное отображение
5.2 Условие перемежаемости
5.3 Приложение к задаче о динамике астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером
5.4 Спектры чисел вращения хаотического движения
5.4.1 Аппроксимация критического движения сепаратрис-ным отображением
5.4.2 Моделирование спектров чисел вращения
5.4.3 Пример оценки параметров аппроксимирующего СО
5.5 Выводы

6 Времена возвратов и ляпуновские времена хаотического
движения
6.1 Вычисление показателей Ляпунова
6.2 Сепаратрисное отображение и универсальная зависимость
6.3 Численные примеры
6.4 Критические явления в динамике астероидов
6.5 Выводы
7 Хаотическое движение в спин-орбитальных резонансах
7.1 Спин-орбитальная динамика и сепаратрисное отображение
7.2 Сепаратрисное алгоритмическое отображение
7.3 Алгоритм регулярной проекции
7.4 Движение в окрестности сепаратрисы синхронного резонанса
7.5 Об устойчивости относительно наклона оси вращения
7.5.1 Система координат и уравнения движения
7.5.2 Анализ распределений значений показателей Ляпунова
7.5.3 Анализ устойчивости на представительном сечении фазового пространства
7.6 Выводы
8 Орбитальные резонансы и сепаратрисное алгоритмическое отображение
8.1 Сепаратрисное алгоритмическое отображение в бирезо-нансном случае
8.2 Алгоритм регулярной проекции в бирезонансном случае
8.3 Приложение к движению в орбитальном резонансе
8.4 Выводы
9 Синхронизация сепаратрисного отображения
9.1 Процедура синхронизации
9.2 Синхронизация в случае симметричного возмущения

член имеет степени каждой пары сопряженных канонических переменных в сумме равными соответствующей данной паре компоненте фиксированного численного вектора. Идея состоит в том, чтобы выделять из полинома От гармоники и делать подстановки в них. Аналитическая структура гармоник позволяет осуществлять их наиболее экономно. Гар-моники выделяются из полинома С?т до тех пор, пока он не исчерпывается полностью. Именно этот подход реализован в описанном ниже пакете программ.
Результатом работы алгоритма нелинейной нормализации являются нормализованный гамильтониан и производящая функция нормализующего преобразования. При этом канонические переменные, от которых зависит производящая функция, не являются смешанными. (Напомним, что в методах Биркгофа и Цейпеля производящая функция зависит от «старых» координат и «новых» импульсов. Отсутствие подобного смешения представляет собой одно из основных преимуществ метода Депри-Хори перед методами Биркгофа и Цейпеля.) Это обстоятельство позволяет легко вычислить в явном виде нормализующее преобразование канонических переменных как преобразование Ли, генератор которого есть найденная нами производящая функция. Это преобразование дается формулами
где оператор Вк определяется рекуррентным соотношением Dkf = П(Вк~1/), и В - дифференциальный оператор Ли с генератором А: Вf = В1} = {f,S}. Переменные и Р) представляют собой новые координаты и импульсы, 3 = 1
При вычислении преобразований канонических переменных на практике, достаточно оставить в правых частях (1.22-1.23) члены до порядка
оо оо (—її*
Яі = а + £ =Д + £4г-°Рг (1.23)
к=1 К к=1 К-