Влияние электромагнитных полей на несимметрию тензора напряжений в теории упругости

• Автор: Козицын, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с. : ил.

I. ВВЕДЕНИЕ
II. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ УПРУГОСТЬ
Общие уравнения электромагнитной упругости
Частный случай магнитной теории
Дополнительные предположения
III. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Зависимость напряжений от дисторсий
Уравнения совместности тензора дисторсий
Постановка краевых задач в перемещениях и напряжениях
Корректность постановки задачи в напряжениях
IV. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
V. ВАРИАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ
Теорема о минимуме потенциальной энергии дисторсий
Теорема о потенциальной энергии дисторсий
VI. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
VII. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ В НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И АНАЛОГ ФУНКЦИИ ЭРИ
Плоская деформация
Функции напряжений
VIII. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
IX. ЗАДАЧА О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ
ПЛАСТИНЕ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ ДЛЯ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
X. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
XI. ПРИЛОЖЕНИЕ
XII. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I. Введение.
В данной работе предложен вариант несимметричной теории упругости при наличии электромагнитных полей. Впервые вопрос о несимметрии тензора напряжений был рассмотрен Фойхтом в 1887 году [ 70]. Он ввел в рассмотрение не только объемные и поверхностные силы, но и моменты, и получил две группы уравнений равновесия сплошной среды. Эта идея получила свое развитие в теории Е. и Ф. Коссера в 1909 году [ 55]. Ими была предложена моментная теория упругости, согласно которой сплошная среда состоит не из точек, характеризующихся только вектором перемещения, а из элементарных зерен, характеризующихся вектором перемещения и вектором поворота. Соответственно в качестве реакции на поле векторов перемещений и поле поворотов рассматривались несимметричный тензор напряжений и тензор моментов. Немного позднее, в 1911 году, Леру [ 64] подошел к этой проблеме с другой стороны. Рассматривая свойства сплошной среды, он указал на необходимость учета производных более высокого порядка, чем градиент перемещений. Этот вопрос после развивался более подробно в последующих работах [ 61] и [ 68].
В середине нашего века теория Коссера получила новое развитие в связи с появлением работ по континуальной теории дислокаций Гюнтера [ 60] и Крёнера [ 63], по теории пластин и оболочек Эриксена и Трусдела [ 56], а также по классической теории поля Трусдела [ 69]. Кроме того теория Коссера развивалась в работах Аэро и Кувшинского [ 3],[ 4],[ 21], Пальмова [ 33],[ 34],[ 35], Савина [ 39],[ 40],[41], Эрингена [ 53], Григорьева [ 16], Горского
[ 13],[ 15],[ 14], Гордона [ 10],[ 11],[ 12], Белосточного [ 7], Белоносова [ 6].
Также получила развитие теория псевдоконтинуума Коссера, в которой тензор моментов считается зависящим только от тензора вращений. Эта теория подробно рассматривалась в работах Миндлина [ 28], Муки [ 66], Савина [ 41], Стренберга [ 54], Новацкого [ 32].
Второй путь - учет более высоких производных и обобщение классической теории получил свое развитие в работах Гриоли [ 59], Коитера [ 62],[ 20] и Миндлина [ 65],[ 28].
В данной работе предложен вариант несимметричной линейной теории упругости, в которой несимметрия тензора напряжений обусловлена наличием электромагнитных полей. К настоящему моменту существует несколько теорий, учитывающих несимметрию тензора напряжений. Однако, эти теории, как теория континуума Коссера, так и теория псевдоконтинуума Коссера, для учета распределенных объемных моментов предусматривают введение дополнительного тензора реакции - тензора распределенных моментов. В данной работе для описания деформированного состояния тела используется тензор дисторсий, а для описания напряженного состояния - несимметричный тензор напряжений.
Г лава II посвящена получению соотношений для анизотропных тел между компонентами тензора напряжений и дисторсий при наличии электромагнитных полей.
Глава III посвящена математическому выводу возможных соотношений для связи напряжений и дисторсий, обладающих
Заметим, что в симметричной теории упругости данная задача не имеет точного решения, т.к. в угловой точке предполагается несимметрия тензора напряжений из граничных условий. И для решения этой проблемы приходилось вводить дополнительные моменты в граничных условиях.
Корректность постановки задачи в напряжениях.
Рассмотрим математическую корректность постановки
задачи в напряжениях, Для симметричной теории это было проделано в работе [37]. Основная проблема при постановки задачи в напряжениях заключается в том, что количество уравнений не равно количеству неизвестных и количеству граничных условий.
Это делает постановку задачи математически не корректной. Для исправления ситуации построим равносильную математически корректную задачу.
Выразим из уравнений совместности девять первых производных несимметричной части тензора напряжений.
Формула Ш
из условий Коши получим: