Устойчивость и бифуркации установившихся движений механических систем

• Автор: Нечаев, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
Введение
Глава I. О соответствии различных режимов движения механических систем и условиях их устойчивости
1. Постановка задачи
2. Связь относительных равновесий и абсолютных и относительных стационарных движений и их устойчивость
3. Пример: гироскоп в кардановом подвесе
4. Сравнение степеней неустойчивости нетривиальных стационарных движений и относительных равновесий
5. Пример: твердое тело с неподвижной точкой
6. Системы с линейными интегралами
7. Сравнение гироскопической стабилизации тривиальных относительных равновесий и стационарных движений
Глава II. Бифуркация положений равновесия в окрестности вырожденной критической точки
1. Постановка задачи
2. Вырожденная бифуркация рождения
3. Пример бифуркации рождения
4. Построение укороченного потенциала для второго случая
5. Исследование случая (0)-(2)
6. Пример: твердое тело на абсолютно гладкой плоскости
7. Исследование случая (1)-(1)
8. Ответвление поверхностей

9. Заключение
Глава III. Разрушение вырожденных точек бифуркации
1. Введение
2. Разрушение вырожденной бифуркации рождения
3. Разрушение бифуркации (0)-(2)
Список литературы

Введение
Проблемы отыскания всех установившихся движений (абсолютных и относительных равновесий или стационарных движений) и исследования их устойчивости и ветвлений играет важную роль при качественном анализе механических систем.
При исследовании установившихся движений механических систем с циклическими интегралами широко используются два подхода.
Первый подход был предложен Раусом в работах [1] [2]. Раус исследовал стационарные движения, т. е. движения, доставляющие стационарное значение одному из интегралов системы при фиксированных значениях остальных. В частности, для систем с циклическими координатами стационарные движения в смысле Рауса совпадают со стационарными движениями в смысле Уиттеккера.
В 1885 году в работе [3] Пуанкаре предложил другой метод исследования установившихся движений. Он предложил рассматривать вместо исходной механической системы с циклическими интегралами другую систему с дополнительными силами, обеспечивающими постоянство циклических скоростей на всех движениях системы. Положения равновесия такой системы получили название относительных равновесий.
В этой же работе было доказано существование связи между стационарными движениями и относительными равновесиями, а именно: каждому стационарному движению отвечает относительное равновесие, и наоборот. Однако условия устойчивости этих движений могут различаться.
поскольку на тривиальном стационарном движении <ТА-1 /дт = 0. Значит, на тривиальном стационарном движении и отвечающем ему положении относительного равновесия матрицы гироскопических сил в линеаризованных уравнениях движения совпадают.
Следовательно, в линейном приближении системы будут различаться только кинетической энергией. Сохраняя обозначения для линеаризованных потенциальной энергии и гироскопических сил, запишем уравнения движения в первом приближении
Ах + Сх + Сх = 0,
(А + А! )х + Сх + Сх = 0.
Первое из уравнений соответствует свободной системе, второе ограниченной (Ах — некоторая положительно-определенная симметричная матрица). Пусть матрица С является отрицательно-определенной, т. е. потенциальная энергия системы достигает локального максимума в положении равновесия. Тогда, согласно лемме, стационарное движение свободной системы будет устойчиво по первому приближению, если матрица 4С — СА“-С будет положительно-определенной. Замечая, что т.к. Ах = А" > 0, то выполнено матричное неравенство А-1 > (А + Ах)-1. Таким образом, справедливо следующее утверждение
Утверждение. Пусть на тривиальном относительном равновесии измененный потенциал достигает локального максимума и выполнено матричное неравенство 4С — С А-1 С > 0. Тогда в первом приближении устойчиво не только относительное равновесие ограниченной системы, но и соответствующее ему стационарное движение свободной системы.