Исследование устойчивости и бифуркаций стационарных движений некоторых неголономных систем

• Автор: Кулешов, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Содержание
Введение
Глава 1. Об обобщенном интеграле Чаплыгина
1. Постановка задачи
2. Историческая справка
3. Получение основного соотношения
4. Движение шара по плоскости
5. Движение шара по внутренней поверхности сферы
6. Движение шара с гироскопом по плоскости
7. Движение шара но произвольной поверхности
Дополнение. Вывод формулы (5.3)
Глава 2. Диск на абсолютно шероховатой плоскости
Введение
1. Историческая справка
2. Уравнения движения и их первые интегралы
3. Стационарные движения
4. Анализ условия существования стационарных движений
5. Условие устойчивости стационарных движений и его анализ
6. Первоначальные выводы об устойчивости
7. Результаты численного исследования
8. Предварительные рассуждения для дальнейшего исследования устойчивости
9. Исследование устойчивости на интервале а**(к) < а < а*(к)
10. Исследование устойчивости на промежутке а*(к) < а < 7г/2
11. Выводы
12. Наглядный материал. Сравнение с другими работами
Дополнение. Соотношения между х+ и х
Глава 3. Диск с гироскопом на абсолютно шероховатой плоскости
1. Постановка задачи. Стационарные движения диска с гироскопом
2. Устойчивость найденных решений
Глава 4. Шар на абсолютно шероховатой плоскости
1. Постановка задачи. Уравнения движения и их интегралы
2. Историческая справка

3. Предварительные рассуждения
4. Построение эффективного потенциала
5. Стационарные движения шара
6. Анализ уравнения (5.7)
7. Условие устойчивости стационарных движений (5.3)
8. Некоторые выводы об устойчивости регулярных прецессий
Глава 5. Исследование частных случаев
1. Регулярные прецессии шара с дополнительным ограничением
на распределение масс
2. Случай С1 =
3. Случай С2 =
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Задача о движении тяжелого твердого тела без проскальзывания по заданной поверхности (в частности, по плоскости) является одной из основных задач целого раздела аналитической механики - динамики неголономных систем. Классическая динамика неголономных систем, с одной стороны, имеет примерно вековую историю, а с другой - все еще, так или иначе, сохраняет облик дисциплины изолированной и отчасти противопоставленной динамике систем голономных. Дело здесь не столько в названии, сколько - во первых в том, что объекты этой дисциплины исследуются скорее индивидуально, нежели на основании общих подходов, которые расширяли бы методы динамики голономных систем и - во вторых в том, что ведут себя эти объекты, согласно широко распространенному мнению, часто неожиданно. В динамике неголономных систем известно сравнительно немного точно решенных задач (практически полную информацию можно найти в книгах [2,30,39,48]), поэтому исследования, относящиеся к этой науке, вызывают известный интерес как у нас в стране, так и за рубежом.
Все сказанное в равной мере относится и к исследованию устойчивости движения неголономных систем. Постановка задач об устойчивости движения таких систем требует большого внимания, что не раз отмечалось многими известными специалистами в этой области [20,49,50]. Разрозненные результаты по исследованию устойчивости стационарных движений конкретных неголономных систем впервые были систематизированы, по-видимому, в книге [39]. Описанию дальнейших результатов, полученных в этой области, посвящены обзоры [23] и [42].
Неголономные модели различных механических систем находят применение при решении многих технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла [25,33,54,55], в теории движения автомобиля [15,16,26,27], в теории взаимодействия колеса и дороги [4,5,16,25], в теории движения электрических машин [7,8,28,29,31] и, с недавнего времени, при изучении движения мобильных роботов [10,24,32,37], а также в целом ряде других областей техники.
Интерес к механике неголономных систем и, в частности, к задаче о качении тела по неподвижной поверхности без проскальзывания ничуть не ослабевает, свидетельством чему являются появившиеся сравнитель-

Утверждение 8.1. Если £ — £ — т] < 0, то при 2 —>• 1 — О справедлива следующая приближенная формула

если же ц • - £ ц 0. то при г -> 1 - 0 приближенная формула будет
тты і-?

где Г (2) - гамма-функция Эйлера.
Доказательство. Доказательство этого утверждения приведено в книге [45].
Утверждение 8.2. Для любого г Є (0, 1) выражение
(2к + 1) .Р (£, г}, 1; 2) + к (2г - 1) Р (£ + 1, г + 1, 2; г) по лож ите льно.
Доказательство. При 2 € [1/2, 1) утверждение очевидно. Пусть 2 Є (0, 1/2). Легко видеть, что рассматриваемое выражение представляет собой некоторый бесконечный ряд. Покажем, что все члены данного ряда положительны. При нулевой степени 2 стоит множитель
2/еН-1-/с = /г + 1>0.
При первой степени 2 стоит множитель

Поскольку
(2к + 1) Іг + 2к -
£ + п = Ып =
2/г + 1 ’
то данный множитель преобразуется к виду
2 + А‘ -— _ 2 (А + 1)г о
2к + 1 2& +
При степени 2П+1, п > 1 стоит множитель
.п (С -н) {п 44)
((п +1)!)
(2к + !)£?/ + 2/г (п + 1) —

+ !)(»?-п +