Геометрические свойства конечномерных интегрируемых систем и их дискретизаций

• Автор: Фёдоров, Юрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 181 с. : ил

Оглавление
0.1 Введение
1 Динамические системы с инвариантной мерой
1.1 Примеры динамических систем с инвариантной мерой
1.2 Системы с инвариантной мерой на группах Ли
2 Геометрические свойства некоторых многомерных интегрируемых систем
2.1 Многомерные интегрируемые аналоги
систем классической динамики
2.2 Иерархия систем Фрама-Манакова и
Клебша-Переломова
2.3 Иерархия систем Стеклова-Ляпунова-
Рубановского
2.4 Иерархия ФМКП и касательные пространства к конфокальным квадрикам
2.5 Решения ранга к и динамические системы на расширенных
многообразиях Штифеля и Грассмана
2.6 Движение на орбитах ранга
2.7 Системы Стеклова—Ляпунова и пучки линейных пространств
3 Тета-функциональные решения
3.1 Обобщенная проблема обращения Якоби и обобщенные тета-функции
3.2 Решения в обобщенных тэта-функциях
4 Дискретные интегрируемые системы и преобразования Бэк-
лунда
4.1 Эллипсоидальный биллиард с квадратичным потенциалом
и без него
4.2 Дискретные интегрируемые аналоги классических волчков Эйлера и Лагранжа

0.1 Введение
Во множестве классических интегрируемых систем механики особое место занимают знаменитая задача Якоби о геодезических на n-мерном эллипсоиде и динамическая система Неймана, описывающая движение точки на сфере в поле сил с квадратичным потенциалом. Данные системы линеаризуются на многообразиях Якоби (Якобианах) гиперэллиптических кривых (точнее, на их конечнолистных накрытиях). При этом поведение геодезических на эллипсоиде обладает замечательным свойством, описываемым теоремой Шаля: касательная прямая к геодезической Q(cs) одновременно касается п — 1 фиксированных квадрик, конфокальных с эллипсоидом.
Между динамической системой на Т*5П-1 и задачей Якоби о геодезических имеется замечательная связь. В разное время она была обнаружена и исследована Г.Минковским [115], В.Козловым [19] и Ю.Мозером [35]. Другая связь между решениями была найдена в [98].
Современный подход к исследованию этих и связанных с ними задач был инициирован Ю. Мозером в работах [35, 116], где были рассмотрены гамильтоновы системы на пространстве (х, у), где х, у € суть соответственно координаты и сопряжённые моменты. Указанные системы допускающие матричное п х п представление Лакса L = [L, В], где матрица L имела следующую общую структуру
L = А-- ах ® х -- Ъх ® у -{ су ® х + dy у, A — diag(ai
где а, Ь, с, d — некоторые постоянные. (В частности, для системы Неймана на единичной сфере (ж, х) = 1 с квадратичным потенциалом 1(ж, Ах) следует положить d = 0, с = — Ь.) В силу представления Лакса, спектр матрицы L остаётся неизменным, что даёт п первых интегралов соответствующей динамической системы.
Отметим, что в общем случае ранг матрицы L — А равен двум. В связи с этим, следуя Мозеру, L получила название “возмущение ранга 2” (rank 2 perturbation) постоянной матрицы А.
Впоследствие в работах [54, 55] было предложено естественное обобщение данной конструкции, где рассматривались гамильтоновы системы на пространстве пар матриц (F, (?) размерности п х к, снабжённом симплек-тической структурой uj2 = ti(dFT A dG). Указанные системы описывались представлением Лакса в виде матриц п х п
L = L,B), L = A + FoGT (1)
с некоторой невыроженной постоянной матрицей о размерности к х к. С учётом этого, матрица L была названа “возмущением ранга к”. Матрицы Лакса с аналогичной структурой рассматривались также в [36,124]. Кроме

того, была указана тесная связь данных систем с динамическими системами на конечномерных орбитах коприсоединённого представления алгебры петель з/(/с), описываемыми парой Лакса с рациональным спектральным параметром
где У — В случае системы Неймана дуальная пара Лакса имеет размерность 2 х 2 и записывается в виде
Пары Лакса с матрицами вида (3) определяют так называемые системы Якоби (или мастер-системы) линеаризуемые на обычных или обобщенных якобианах гиперэллиптических спектральных кривых (см. [11, 31, 93, 131] и Главу IV данной диссертации). Как было отмечено авторами данных работ, полиномы 1ч2(А), Гц(А), £21 (А) дают чисто алгебраическое описание афинных частей таких якобианов. С этой целью они были впервые введены Якоби. Кроме того, нули полинома £12 (А) определяют разделяющиеся переменные для мастер-систем. Для классической системы Неймана на единичной сфере (ж, х) = 1 эти нули совпадают с известными сфероконическими координатами на ней.
Таким образом, системы, определенные указанными парами Лакса (2) с матрицами к х к представляют собой важное обобщение мастер-систем. При к > 2, соответствующие спектральные кривые уже не являются ги-перэллиптическими.
Значительная часть известных конечномерных интегрируемых систем, такие как волчки Эйлера-Манакова, Лагранжа и Ковалевской, случай Клебша движения твёрдого тела в идеальной жидкости, обладают представлениями Лакса как в форме (1), так и в форме (2). Существуют однако
A/(A) = [jV(A),M(A)], Af, М Є sl(k), А Є С, (2)
M = Y + GT(Xlk-AYlF,
Л'(А) = [Л/'(А),М(А)]>

из (2.1.10) получаем систему т(т—1)/2 линейных уравнений относительно аг
о-о (а,- - а,) + ах (а? — а*) 4 4 «„(а™-1 - а™-1) = 6*
* < у = 1,, т
из которых только т — 1 являются независимыми. Тем самым, коэффициенты а0, аи
Другую иерархию интегрируемых систем образуют интегрируемый случай Клебгаа уравнений Кирхгофа
К = К х и +р х V, р = рхи: (2.1.11)
где К = {К, К2, К3) и р — (р1,р2,Рз) — соответственно векторы импуль-
сивной пары и импульсивной силы системы тело плюс жидкость, а также его многомерные обобщения. Пусть гамильтониан, описывающий движение тела в идеальной жидкости имеет вид
Т = -(С1К* + С2-К| + СзК%) -(- -(61 + 62Р2 + &зРз)>
Клебш ([76]) нашел, что уравнения Кирхгофа оказываются интегрируемыми если между параметрами с и 6 выполняется соотношение
+ ЬЛ± = о. (2.1.12)
С3 С
При этом, помимо интеграла энергии и тривиальных интегралов Х — (К,р), %2 — (р, р), имеется дополнительный четвертый интеграл
я? + К? + К? - (С1Р? + Сгр1 + С3р1)
Замечание. Известно, что ограничение уравнений Кирхгофа на многообразие (р,р) = 1 эквивалентно уравнениям движения твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимметричном силовом поле с потенциалом УЬ) — §(*>17? + *>272 +*>з7з)/2. гДе [ъ,Ъ,ъ)Т = 7 — постоянный в про-странстве вектор, лежащий на оси симметрии поля. При этом вектор К играет роль кинетического момента тела. В такой постановке условие интегрируемости (2.1.12) было найдено Вруном ([72]).
Рассмотрим теперь многомерный аналог уравнения Кирхгофа, как уравнения Эйлера-Пуанкаре на коалгебре е*(п) группы движений тг-мерного евклидова пространства Е(п) с кинетической энергией
Т — 25 яо*(п), С : М71 —> К”.