Об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы

• Автор: Борисова, Татьяна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Об устойчивости положения равновесия механической системы под Действием сил, зависящих от времени
§1.1. Постановка задачи
§1.2. Об устойчивости положения равновесия системы под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил
§1.3. Задача об устойчивости под действием гироскопических и диссипативных сил
§1.4. О влиянии неконсервативных сил на устойчивость положения равновесия механической системы
Глава 2. Об устойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с
нестационарными связями
§2.1. Об устойчивости положения равновесия системы
с нестационарными связями '
§2.2. О стабилизации установившегося движения
механической системы на подвижном основании
§2.3. Об устойчивости функционирования гирокомпаса
§2.4. Об устойчивости функционирования гирого-ризонткомпаса на подвижном основании
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Задача об устойчивости положения равновесия механической системы является классической задачей в теории устойчивости. Теорема об устойчивости положения равновесия под действием потенциальных сил была сформулирована Лагранжем (Ь.1щ£га1е[117]) еще в 1788 году, а ее доказательство было дано Дирихле (С.Ьфеипе-БшсЫе [118]). Дальнейшее исследование связано с именами Томсона и Тета [121], которые сформулировали известные четыре теоремы о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия. Их строгое доказательство было дано Н.Г. Четаевым [107,108]. В последующие годы данная задача многосторонне исследовалась в трудах многих ученых.
Задача об устойчивости положения равновесия механической системы со стационарными связями под действием сил, не зависящих явно от времени, в настоящее время достаточно подробно изучена. Показано, что она в общем случае может быть рассмотрена, как задача об устойчивости иод действием потенциальных, неконсервативных, гироскопических и диссипативно-ускоряющих сил (см. [62,69]). Основной метод исследования заключается в составлении уравнений линейного приближения и в определении их устойчивости на основе корней характеристического уравнения или построения функции Ляпунова. Многочисленные результаты в этой области подробно представлены в известных монографиях [63,69,70]. В последующем существенные результаты получены в работах [1-3,28,29,42-44, 52,59,80,99,100]. Их структура и сравнительный анализ освещен в этих работах достаточно подробно.

К задаче об устойчивости положения равновесия тесно примыкает задача об устойчивости стационарных движений механических систем, в основе исследования которой — метод Четаева. связки интегралов и теоремы типа теорем Рауса-Ляпунова [8,49,58,81,91,109, 119 и др.]. Однако ее исследование даже в случае потенциальных сил осложняется появлением в уравнениях Рауса дополнительных слагаемых гироскопического характера. Подробный анализ результатов в этой области проведен в обзорах [50,84,91].
Основной областью применения разработанных методов исследования устойчивости под действием структуры сил являются задачи об устойчивом функционировании гироскопических систем [41,43,46,47,53,57,95,96]. При этом, эти методы используются как для анализа устойчивости по прецессионным уравнениям [46,53,69], так и по полным уравнениям движения [41,45,55,56,97,98]. При исследовании устойчивости на основании полных уравнений успешно применяется прямой метод Ляпунова с использованием функции Ляпунова в виде полной энергии [41,78,89] или связки интегралов [81,97-99], а так же построением специальных функций Ляпунова.
Результаты общих исследований о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия стационарной механической системы с успехом используются в решении многих задач о стабилизации установившегося движения управляемой механической системы [54,57,60,78,79,86,88,92].
Подробнее остановимся на результатах исследования задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной механической системы как наиболее примыкающей к теме работы.
В.В. Румянцевым [85] и В.М.Матросовым [65] была показана асимптотическая устойчивость положения равновесия нелинейной механической системы по скоростям под действием гироскопических сил и сил полной диссипации. В.М. Матросовым в [66] рассмотрена механическая система, у которой некоторые коэффициенты устойчивости Пуанкаре равны нулю, а остальные больше нуля. Под действием диссипативных сил с полной диссипацией и произвольных

§1.4. О влиянии неконсервативных сил на устойчивость положения равновесия механической системы.
Пусть на систему действуют одни неконсервативные силы. Уравнения движения примут вид
<1дТ дТ <11 дц дд
где К = К(г,д,д), Я(1,д, д) = 0 при д = 0, (П,я) = 0.
Теорема 1.10. Пусть на систему действуют одни неконсервативные силы. Тогда положение равновесия д — д = 0 неустойчиво. Доказательство. Рассмотрим функцию V = дгАд. Ее производная, в силу уравнений движения имеет вид
V = дтАд + (ЯТ)2Я > ЧТАд > 0.
На множестве {д = 0, д 0} V = 0, а вне этого множества V > О Т.к. функция V = дтАд может принимать положительные значения (например, при д = д), то отсуда следует неустойчивость движения [11]
Рассмотрим случай, когда на систему действуют произвольные линейные диссипативные и неконсервативные силы. Уравнения возмущенного движения будут иметь вид
лот ОТ п
(1-3)
К = Н(1,9), 5 = 5(1).
Теорема 1.11. Допустим, что:
1) действующие на систему (1.34) неконсервативные силы Г1 = К(р q) таковы, что 11(1,0) = 0 и для малых ||д||
НЩР?)!! > (£) > 0) если ||?|| > £ > 0;