Обратимые задачи в динамике твердого тела

• Автор: Глухих, Юлия Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 с.

Оглавление
Введение
1 Устойчивость перманентных вращений тяжелого одно-
родного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости
1.1 Уравнения движения тяжелого твердого тела на абсо-
лютно шероховатой горизонтальной плоскости
1.2 Перманентные вращения. Уравнения возмущенного
движения. Обезразмеренная форма уравнений.
1.3 Нормальная форма
1.4 Устойчивость положения равновесия обратимой систе-

1.5 Результаты численных исследований. Выводы об ус-
тойчивости
2 Качение тяжелого полого эллипсоида на абсолютно шеро-
ховатой горизонтальной плоскости вдоль прямой
2.1 Уравнения движения
2.2 Качение тела вдоль прямой
2.3 Уравнения возмущенного движения
2.4 Обезразмеренная система уравнений в вариациях
2.5 Параметрический резонанс в обратимой системе
третьего порядка
2.6 Качение эллипсоида, близкого к эллипсоиду вращения
2.7 Результаты и выводы об устойчивости
3 Колебания и вращения спутника в гравитационном поле
Земли с учетом влияния атмосферы
3.1 Уравнения движения
3.2 Колебания и вращение спутника на слабоэллиптиче-
ской орбите
3.3 Периодические вращательные движения спутника на
произвольной эллиптической орбите
3.4 Быстрые вращения спутника в плоскости эллиптиче-
ской орбиты
Дополнение А Метод нахождения 2лк - периодических
решений обратимой системы второго порядка
Дополнение Б Метод нахождения характеристических
показателей обратимой системы с периодическими коэффициентами Приложение Зависимость плотности атмосферы от
высоты
Заключение
Литература
Введение.
В данной работе исследуются обратимые задачи в динамике твердого тела. Для тяжелого эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и спутника на эллиптической орбите проанализированы перманентные вращения, колебания и вращательные движения, решается вопрос об устойчивости указанных движений. Такой выбор темы исследования обусловлен, с одной стороны, тем, что основные модели, используемые в классической и небесной механике, описываются обратимыми системами дифференциальных уравнений [45, 46, 61]. С другой стороны, выбор темы определен интенсивной разработкой в последние два десятилетия теории устойчивости и теории колебаний обратимых механических систем [9,16, 17, 23, 45 - 67, 77]. Следует также отметить, что в 80 - е годы разработана обратимая KAM - теория [77, 88 - 90], которая по полноте сравнима с KAM теорией гамильтоновых систем [2, 22, 84], и также нашла применение для исследования механических задач [55].
До работы В.Н. Тхая [45] свойству обратимости не уделялось какое - либо заметное внимание в классической механике. В то же время, как указывается в [61], свойство симметрии (в данном случае имеется в виду обратимость) в небесной механике учитывается, начиная еще с Л. Эйлера [69]. Симметричными являются построенные Л. Эйлером [69] локальные периодические орбиты в окрестности одной из коллинеарных точек либрации, периодические орбиты в задаче Хилла [79], являющейся основной в теории Хилла - Брауна движения Луны, периодические орбиты Пуанкаре всех трех родов [39, 71, 74, 91]. Все построенные периодические орбиты в задаче Хилла [44] являются симметричными. Известен критерий Уиттекера [68] для симметричных периодических орбит. Отметим также работу A.F. Schanzle [87], посвященную подковообразным орбитам в задаче трех тел. В этой работе фактически предлагается подход к построению всех симметричных периодических движений в консервативной обратимой системе с двумя степенями свободы. В относительно недавних основополагающих работах [41, 43] по исследованию задачи В.В. Белецкого [3] также существенным образом используется свойство обратимости.
В работе В.Н. Тхая [45] показано, что голономная механическая сис-

солютно шероховатой неподвижной горизонтальной плоскости описывается замкнутой системой скалярных дифференциальных уравнений шестого порядка относительно х,у, г,и>х,Ш2,^з-
Для системы (2.1) интегралы (1.6) приобретают вид:
Отметим, что наличие двух первых интегралов позволяет, в принципе, описать задачу системой дифференциальных уравнений четвертого порядка. Однако такое сведение представляет собой определенную проблему, ибо первый из приведенных интегралов, содержит как проекции 71,72,73» так и координаты точки контакта х,у,г: связь между этими величинами определяется достаточно громоздкими формулами
Система уравнений (2.1) обладает интегральным многообразием [56], на котором
В самом деле, положим в системе (2.1) переменные 07, и>2, 7з равными нулю. Тогда первое, второе и четвертое уравнения системы обратятся в тождество, и останется система уравнений третьего порядка (2.5), определяющая изменение переменных 71, 72, <^3.
Это многообразие отвечает частному движению, на котором точка касания тела и плоскости описывает одно из главных сечений, а именно сечение, расположенное в плоскости хСу.
Система уравнений (2.1) инвариантна относительно преобразования
(£,07, о>2, а;3,7ь 72,7з) -> (~С -<*>ъ -ш2, -ш3,71,72,7з)
В самом деле, подставим в систему уравнений (2.1) вместо переменных Ш1,а;2,£Цз,71,72,73 переменные — ш, —о>2, —^3,71,72,7з» заменяя при
(2.3)
(2.2).
иі-Ш2 = 0, 73 - О
а изменение переменных 71, 72, 07 определяется системой:
(2.4)
[С + т(х2 + у2)]шг = т(д('уох + 71 у) - шъ{хх + уу)) 7і - ^372 = 0, 72 + <^з7і = О
(2.5)