Исследование устойчивости движений неавтономных динамических систем

• Автор: Платонов, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.09, 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 90 с. : ил

ОГ ЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
§1.1. Основные подходы к проблеме исследования
устойчивости существенно нелинейных систем
§1.2. Достаточные условия устойчивости сложных
систем
§1.3. Исследование нелинейных систем с неограниченными возмущениями
§1.4. Анализ устойчивости двух взаимодействующих подсистем
§1.5. Исследование области притяжения нулевого
решения
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
§2.1. Условия устойчивости положения равновесия уравнения Льенара при нестационарных возмущениях
§2.2. Влияние неограниченных возмущений на асимптотическое поведение решений колебательных систем
§2.3. Критерии устойчивости по неавтономному
нелинейному приближению
§2.4. Исследование устойчивости связанных нелиней-

ных осцилляторов
§2.5. Условия диссипативности векторного уравнения
Льенара
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В широком классе случаев исследование различных реальных процессов сводится к анализу математических моделей, описываемых системами дифференциальных уравнений, как правило, нелинейными. Таким образом, вопрос о качественных свойствах подобных систем представляется важным при моделировании сложных явлений, прогнозировании хода их развития, управлении ими.
Первоначально аппарат теории дифференциальных уравнений применялся к изучению физических и технологических процессов (см, например, [5, 10, 27, 28, 29, 47, 48, 50]). В дальнейшем сфера использования дифференциальных уравнений значительно расширилась и охватила химию, экономику, экологию, биологию и многие другие области человеческой деятельности [С, 8, 12, 35, 36, 45, 51, 61].
При описании изучаемых объектов часто бывает удобным, а иногда и вообще единственно возможным, использование, так называемого, асимптотического моделирования [35]. Любые исследования имеют дело с моделями реальных процессов. Это значит, что уравнения, оказывающиеся в нашем распоряжении, дают лишь приближенное описание интересующих нас явлений. Мы практически всегда ’’упрощаем задачу”, отбрасывая те или иные слагаемые и понижая порядок систем. Возможность такого упрощения обычно обосновывается малостью каких-то параметров. Однако не всякую малую величину можно отбросить, не искажая смысла задачи. Поэтому важно овладеть методами, позволяющими установить зависимость решений от параметров задачи и, особенно, исследовать асимптотическое поведение решений при малых значениях этих параметров. Важность асимптотических методов значительно возросла в последнее время в связи с развитием вычислительной техники.
На работу любой управляемой или неуправляемой системы все-

прерывные и ограниченные при t > 0 функции, i — 1,2,3,4; aj > 1,
Легко можно убедиться, что система (1.24) разбивается на две взаимодействующие подсистемы (одномерную и двумерную). Если //1 = Ц2 = р, то это взаимодействие описывается системой вида (1.23). Следовательно, к системе (1.24) применимы условия (1.21): ррз < стад, где а = minjapo^}. А при ограниченных функциях J'g bi(r) d,T, i — 1,...,4, данную оценку можно ослабить. Используя в качестве функции Ляпунова функцию V — А (tj + w|)p + A^oj^ , где р и q — рациональные числа с нечетными знаменателями, получаем, что для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.24) достаточно выполнения неравенства EEï < 1, где
Функцию Тд можно использовать и для получения условий асимптотической устойчивости в случае, когда др ф ц?- Здесь двумерная подсистема является уже обобщенно-однородной. Системы такого вида будут рассмотрены в параграфе 1.4.
3 = 1,2,3.
в] - тах
Рз + 1 Рз РЗ - «3 РЗ -
2а ’ а — 1 + р ’ а — 1 ’ а
в2 = тах