Мартингальные методы построения моделей объектов, эволюционирующих в случайных средах

• Автор: Жданов, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 135 с.

Оглавление
Введение
Математические модели стохастических систем, порождаемых физическим белым шумом
1.1 Классификация моделей по типу случайного блуждания
1.2 Метод предельных теорем. Диффузионная аппроксимация
1.3 Прикладные задачи
Предельные теоремы для функций распределения
2.1 Обобщение одномерной схемы Биркгофа-Хинчина
2.2 Схема Биркгофа - Хинчина в векторном случае
2.3 Слабая сходимость процессов - решений уравнений
Ито-Вольтерра
2.4 Диффузионная аппроксимация для процессов разности
точечных процессов
Оценки вероятностей пересечения границы и больших
уклонений в схеме серий
3.1 Скорость сходимости вероятности пересечения гра-
ницы в схеме Биркгофа-Хинчина к вероятности пересечения границы винеровским процессом
3.2 Задача о пересечении границы с ’’движущейся” в схеме
серий границей
3.3 Пересечение границы предельным процессом случайного блуждания
3.4 Задача о больших уклонениях в схеме Биркгофа-Хинчина
3.5 Большие уклонения для процессов скользящего среднего102
Применения метода предельных теорем
4.1 Оптимальная фильтрация в обобщенной схеме Кал-
мана

4.2 Задача оптимального управления по неполным данным
4.3 Задача идентификации
Выводы и заключение
Литература

Введение
Важной задачей математической кибернетики является изучение математических моделей систем, порождаемых физическим белым шумом. Основой этих моделей являются процессы случайного блуждания в случайных средах. Изучению таких процессов посвящено большое число работ (см., в частности, Александер С., Бернаскони Ж., Шнайдер В.Р. и Орбах Р. [1], Кавацу К. и Кестен X. [2], Синай Я.Г. [3], Аншелевич В.В., Ханин K.M. и Синай Я.Г. [4], Козлов С. М. [5], Летчиков A.B. [6], Бутов A.A. [7], и библиографию в этих работах) . Заметный интерес к задачам о блужданиях в случайных средах объясняется большим числом адекватных математических моделей физических, биологических и других объектов. Наглядным примером такой модели может служить процесс движения заряженных частиц в полупроводниковых структурах. В этом случае траектория процесса отвечает изменению координаты частицы. Случайной средой является или набор неотрицательных случайных величин, являющихся ’’интенсивностями” переходов частиц из одной области полупроводника в другую, или некоторая случайная функция, определяемая характеристиками полупроводниковой структуры. В большинстве работ рассматриваются случайные блуждания, представимые в виде разности точечных процессов. Но для многих моделей математической кибернетики более логичным является предположение, что случайной средой является непрерывная стационарная функция.
Наиболее известное исследование асимптотического поведения распределений процессов случайных блужданий - предельные теоремы для турбулентной диффузии, рассмотренные Х.Кестеном и Г.Папаниколау [8]. Однако, в целом модели на основе такого рода процессов изучены явно недостаточно. Так, для принципа инвариантности и теоремы Биркгофа-Хинчина, естественным обобщением которых являются случайные блуждания в случайных средах функционального типа, был рассмотрен возможный вариант обобщения - введение обратной связи, [8],- но само исследование такой схемы было проведено только в простейшем случае (без коэффициентов обратной связи, зависящих от времени, без функционала управления и т.д.) и не были рассмотрены соответствующие задачи математической кибернетики. Это объясняется тем, что в большинстве случаев применялись преимущественно марковские методы. Из-за сложности структуры объекта (и, соответственно, порождаемой ею

Глава
Предельные теоремы для функций распределения
2.1 Обобщение одномерной схемы Биркгофа-Хинчина
1. Пусть на полном вероятностном пространстве (Г2, И, Р) определен стационарный в узком смысле измеримый процесс £ = (£(£, о>))*ек, со £ Г2. Предположим, что траектории £(£) непрерывно дифференцируемы, £'(£) = £'(£;ы) = , и выполняются следую-
щие условия:
где Л/" - система множеств из И нулевой меры Р. Предположим также, что для процесса £ = (£(£))(е! выполняется условие (см. §1, часть II, главу 4 [56])

обеспечивающее существование конечной положительной величины а
ЕДО) = О,
(2.1.1)
(2,1.2)
(2,1,3)
Е£2(0) < с < оо, Е£'Й) < оо, £ > 0. Определим поток ст-алгебр 3 = к с

(2.1.4)
(2.1.5)