К решению задачи об оптимальном параметре совместности для некоторого класса уравнений в нормированном пространстве

• Автор: Ровенская, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 129 с. : ил.

1 Постановка задачи и алгоритм решения

1.1 Исходная и расширенная задачи

1.2 Дополнительные условия и алгоритм

решения

1.3 Конкретизация алгоритма

1.4 Случай оператора, не зависящего от

параметра

2 Приложения к решению некоторых задач оптимального управления

2.1 Задача быстродействия со смешанными ограничениями

2.1.1 Постановка задачи. Эквивалентная задача

2.1.2 Алгоритм решения задачи быстродействия со смешанным ограничением

2.1.3 Пример: задача быстродействия для модели прыгающего одноногого робота
2.2 Задача оптимизации смешанных
ограничений
2.2.1 Постановка задачи. Эквивалентная задача
2.2.2 Алгоритм решения задачи оптимизации
смешанных ограничений
2.2.3 Пример: задача оптимизации фазоного
ограничения в макроэкономике
3 Регуляризирующий алгоритм
3.1 Возмущенная задача п регуляризирующий алгоритм
3.2 Конструктивный регуляризирующий
алгоритм
3.3 Регуляризирующий алгоритм для задачи быстродействия
с фазовыми ограничениями
Литература

В дисертації» рассматривается оптимизационные задачи вида:
р —> min,
F(p,x) = b(p), х Є Х(р),
Р > РоВ задаче (1), требуется найти наименьшее значение скалярного параметра р, при котором зависящее от этого параметра уравнение F(p,x) = b(p) имеет решение в пределах заданного множества X(р); нахождению подлежит также само это решение. Подобные постановки возникают в разного рода прикладных задачах (задачи оптимизации сетей страховых компаний, задачи оптимизации портфелей инновационных проектов - см., напр., [85,88]), а также при исследовании параметрических семейств операторных уравнений [88[).
Диссертация посвящена построению и исследованию одного итерационного метода решения задачи (1) (пространство аргументов х считается, в общем случае, бесконечномерным). При рассматриваемых в работе ограничениях оптимизационная задача (1), является, вообще говоря, невыпуклой. Предложенный итерационный метод конкретизируется применительно к некоторым задачам оптимального управления.
Известно, что для решения невыпуклых задач оптимизации стандартные методы, например, градиентного типа (см. [12], [55], [32], [29]) могут быть не применимы. Известен также ряд общих подходов, применимых для решения широкого класса оптимизационных задач - методы штрафных и барьерных функций (см., папр., [12], [77]); гомотопические методы (см., папр., ]97|); методы стохастической оптимизации [52]). Подходы этого класса, обладая значительной общностью, сопряжены, однако, с проблемой их конструктивной реализации при решении конкретных задач.
Тин исвыиуклой задачи обычно создаст специфические трудности па пути обоснования конструктивных алгоритмов решения. В связи с этим развиваются специализированные подходы, ориентированные на решение конкретных типов задач исвыиуклой оптимизации (см., напр.. ]9С|). Для некоторых

,.. ф(11и)) п .. ,, . ф(12и))
т = аШ))> ’ мо = ( )'ШГ>
Так как
- 2гп1 (I - Згп(1 + (I)2)
ф{1)
(I + т(/ + г/)2)3
то при условии леммы функция I н-> ф(1) вогнута на [О, Ь]. Тогда Л(А)+/Дб) <
1. Из вида и (2.52), имеем гДД),ц2Д) е [-1,1], значит, д(£) € [-1,1]. Так как функции Л(-), ц(-), очевидно, измеримы, то функция и(-) измерима. Таким образом, управление и(-) = (щ('),и2(-)), удовлетворяющее (2.С2), (2.63), сущсствуст. Доказательство закончено.
Из замечания 2.3 и леммы 2.4 непосредственно следует
Лемма 2.5. Пусть оператор Д(-, •) = (ТД-, ф-РД-, •)) заЛш согласно (2.56) - (2.58), вектор Ь задай по (2.59), множество 67 определяется согласно (2.60) и, кроме того, 3т(Ь + (I)2 < I. Тогда для задача (2.55) выполнены условия (В1) - (В5).
В силу теоремы 2.1.3 лемма 2.1.3 дает возможность применить описанный в разделе 2.1.2 алгоритм (2.38) - (2.48) для решения задачи (2.55).
Приведем конкретизацию этого алгоритма, учитывая вид (2.56) - (2.58) компонент оператора F(•, •) и структуру (2.60) множества 67.
На нулевом шаге полагается р0 = 0, = 1,
Ф) = ($)(0Л(0А(0) е г, г>о(0 = (ио(0.^о(0.ио(0) = Ф)> Ио(0 = («ю(0,«20(0) € П, <(0 - К‘(0»ио2(0) = ио(0>
(6 € [0,7’]) (2.64)
и набор (р0, а'о°щ(-), 1$(•), £()(■), ио(0) выбирается в качестве начального элемента последовательности. На шаге А: + 1 по набору
(Рк, а^ а[к), г^(-), ^о(-), • • •, «*(•)> «?(')| г*(0. “*(•))»

/Д-е[0.Г]. „Г о?» €[0.1].