D - устойчивость матриц и знакопостоянство полиномов

• Автор: Кановей, Григорий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с. : ил.

Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Я- ИАЦ-УСТОЙЧИВОСТЬ МАТРИЦ
§ 1.0- и аВ-устойчивые матрицы в математических моделях в экологии
§ 2. Свойства Б- и аБ-устойчивых матриц
§ 3. вопросы характеризации множеств В- и аВ-устойчивых матриц
ГЛАВА 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ
§ 4. Необходимое условие положительности действительного полинома
§ 5. Достаточные условия положительности действительного полинома
ГЛАВА 3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ О- И АЛ- УСТОЙЧИВ ОСТИ МАТРИЦ
§ 6. Необходимые условия б- и аВ-устойчивости матриц
§ 7. Достаточные условия В- и аВ-устойчивости матриц
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение

Введение
Для моделирования экологических систем часто используют математический аппарат теории обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных.
Одной из важных задач математического исследования моделей является задача анализа устойчивости равновесных (или стационарных) состояний системы, в которых численности популяций остаются практически неизменными.
Математическая теория устойчивости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ведущая свое начало от трудов А.М. Ляпунова, широко известна и изложена в монографиях и учебниках (см. например [1]).
Одним из методов анализа устойчивости стационарного решения автономной системы дифференциальных уравнений является метод линеаризации (первый метод Ляпунова). В соответствии с этим методом для анализа устойчивости исследуется спектр матрицы Якоби линеаризованной в окрестности равновесия системы. Если действительные части всех собственных значений матрицы Якоби отрицательные, то имеет место устойчивость данного стационарного состояния. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то стационарное состояние неустойчиво.
Действительные матрицы, все собственные значения которых имеют отрицательные действительные части, называются устойчивыми.
Метод линеаризации в задаче устойчивости, обобщающий результаты Ляпунова для широкого класса систем уравнений в частных производных, разработан В.И. Юдовичем. Эти результаты в частности применимы к диффузионной задаче, рассматриваемой в § 1 данной работы.
При построении модели часто возникает ситуация, когда при возмущении начальных данных модели или некоторых ее параметров нарушается устойчивость равновесных состояний модели, имевшая место до возмущения. Таким возмущением, к примеру, может служить погрешность в измерениях данных или неточность в выборе параметров модели. Вследствие этого модель может давать неверные выходные данные, неадекватные реальному развитию экосистемы.
Поэтому возникает задача построения методов, позволяющих определить, сохраняется ли устойчивость равновесных состояний модели при возмущениях ее
Введение

определенных параметров или данных. К числу таких методов относятся анализ О-устойчивости и аО-устойчивости матрицы Якоби линеаризованной системы дифференциальных уравнений модели.
Понятие О-устойчивости матриц впервые появилось в конце 50-х годов в работах по математической экономике, а в дальнейшем и в математической экологии. Матрицу называют й-устойчивой, если она устойчива в произведении с любой диагональной матрицей с положительными элементами на главной диагонали.
Понятие аддитивной О-устойчивости возникло несколько позже, в середине восьмидесятых годов. Ранее, в литературе по математической экологии матрицы, обладающие этим свойством, называли сильно устойчивыми. Понятие и термин происходили из так называемых “диффузионных” моделей, или уравнений “реакции -диффузии”, - непрерывных пространственных обобщений локальных (или “точечных”) популяционных моделей. Устойчивая матрица называется сильно устойчивой (или аддитивно О-устойчивой, или короче, аО-устойчивой), если она сохраняет устойчивость при вычитании из нее диагональной матрицы с любыми неотрицательными элементами на главной диагонали
Из определений О- и я£)-устойчивости матриц не ясно, существует ли возможность проверить их за конечное число шагов. Поэтому возникает задача построения конструктивных, т.е. проверяемых за конечное число шагов, критериев принадлежности произвольной матрицы множеству £>- и оО-устойчивых матриц.
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица позволяет свести проблему характеризации О- и аО-устойчивости к вопросу, являются ли положительными всюду в положительном ортанте некоторые действительные полиномы от многих переменных. Благодаря элементарности соответствующих полиномов для матриц 2x2 и 3x3, данная проблема для матриц этой размерности решена достаточно давно, см. [2]; характеризация £>-устойчивых матриц 4x4 получена автором в работе [3] и приведена в § 3 данной работы. Также известны некоторые необходимые условия и достаточные условия О- и аО-устойчивости, см. например [2,4,5,6].
Задача проверки положительности действительного полинома от одной переменной в положительном ортанте может быть решена с помощью теоремы Ж. Штурма [7, 8]. Аналогичная задача для действительных полиномов от многих переменных может быть решена за конечное число шагов с помощью алгоритмов исключения переменных из полиномиальных задач. Существование таких алгоритмов
1 Строгие определения £>- и йО-устойчивости будут даны ниже, в §1.
Глава 3. Необходимые и достаточные условия Б- и аО-устойчивости матриц

полинома аОр(А,прс1
Доказательство. Выполнение первого условия следует из принадлежности матрицы -А к классу Ро. Действительно, легко видеть, что
Ор{А 1 ;а'2
где1 означает транспонирование.
Поскольку -АеРо, элементы вектор-столбца (На;%{-А)‘ неотрицательны, и среди них есть по крайней мере 1 положительный элемент, следовательно из формул (6.2) получаем справедливость условия 1 доказываемого утверждения.
Покажем выполнение второго условия. Согласно утверждению 3, класс Ро инвариантен относительно сложения с произвольными диагональными матрицами с неотрицательной диагональю и умножения на произвольные диагональные матрицы с положительной диагональю. Отсюда, в частности, следует, что с1е1(БЛ)>0 для всех диагональных матриц Б с положительной диагональю и &сф+А)>0 для всех диагональных матриц Б с неотрицательной диагональю.
Рассмотрим матрицу Гурвица Я(.ш(Я))=(й[/) характеристического полинома матрицы -ВА, где Б = <Иа§(1, х2)... , х„). Из формул (6.1) очевидно, что й/„ = 0 при и /?ил=с1е1:(-Б,4). Следовательно, справедливо равенство:
Ор(А;п-рс2,..рс„)=й(Л(-ОА)Ор{А-,п-'уХ2
Следовательно, положительность Б-полинома порядка п матрицы А в положительном ортанте эквивалентна положительности ее Б-полинома порядка (н-1) в положительном ортанте (поскольку -АеРо, то -ДА еР0 => бе1:(-БЛ)>0).
Рассмотрим матрицу Гурвица Н(а)(х<2-а())=(Л(а) Замечание 18. Для матриц А еМДЯ), согласно теореме 1 из [3] (или теореме 5 из данной работы) верно, что А - Б-устойчива <=> выполнены 2 условия: