Линейно-степенная задача оптимального управления

• Автор: Кронин, Григорий Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 78 с. : ил.

Оглавление.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ОБОЗНАЧЕНИЯ
2. ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА. ПОСТАНОВКА И МОТИВИРОВКА
3. ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ ЗАДАЧА
3.1. Линейно-квадратичная задача на конечном интервале времени
3.2. Линейно-квадратичная задача на бесконечном интервале времени
4. ЗАДАЧА (Р,1) НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
4.1. Задача(рД) на конечном интервале - формулировка результата. Связь с уравнениями Лурье-Риккати
4.2. Доказательство теоремы о регуляторе для задачи РіДр, 1,а,Т)
5. ЗАДАЧА (Р,Р) НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
5.1. Задача (р,р) на конечном интервале - формулировка результата. Отличие от задачи (1,р)
5.2. Регулятор для задачи (р,р) на конечном интервале
5.3. Частный случай: одномерное пространство состояний
6. ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ
6.1. Решение задачи Рк(р,р,а,+°°) - доказательство теоремы
6.2. Частный случай задачи Рїі(р,р,а,+°°): одномерное пространство состояний
6.3. Частный случай задачи Ріі(рД,а,+оо): одномерное пространство состояний
7. ДИСКРЕТНАЯ ЛИНЕЙНО-СТЕПЕННАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
7.1. Постановка дискретной линейно-степенной задачи
7.2. Дискретная линейно-степенная задача: построение регулятора
7.3. Дискретная линейно-степенная задача: формулировка результата
8. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
8.1. Примеры
8.2. Численное решение уравнения (5.5)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Введение.
Раздел теории управления, изучающий конструирование оптимальных регуляторов - направление, возникшее исторически сравнительно недавно. В 60-е годы как в нашей стране, так и за рубежом появилась серия работ [1][2][3][4][12][13], заложивших основу и предвосхитивших многие глубокие результаты. Столь большая популярность теории конструирования регуляторов объясняется, на наш взгляд, двумя причинами:
- практической значимостью результатов,
- глубиной и нетривиальностью математического аппарата, созданного для их получения.
Методы решения задач математической теории оптимального управления столь общие и затрагивают столь широкий спектр математических дисциплин, что бывает нелегко провести границу там, где кончается математический и функциональный анализ и начинается теория управления, решающая задачи, возникающие в электродинамике, механике, экономике, химии
В диссертации получен ряд результатов о существовании оптимальных процессов и оптимальных регуляторов для большого класса задач, для которых автор взял на себя смелость ввести термин “линейно-степенные”, то есть задач с линейным (непрерывным или дискретным) уравнением объекта и функционалом качества, содержащим возведение в степень (которая обычно предполагается большой). Хорошо
известна линейно-квадратичная задача о минимизации квадратичного функционала от процесса, удовлетворяющего линейному дифференциальному уравнению. В разных вариантах постановки линейно-квадратичной задачи её решение получено [2][3][4][12][13] в виде оптимального регулятора, не зависящего от начального условия. Диссертация посвящена исследованию задачи, в которой вместо квадратичного функционала фигурирует степенной, то есть содержащий под интегралом возведение в степень (простейший пример:

|(|х(1)|2р+|и(0|2р)Л). Постановка задачи восходит к линейно-квадратичной

задаче [14][22] и при изложении (там, где это возможно) будет прослежена связь с линейно-квадратичной задачей. Оказывается, имеют место некоторые результаты, аналогичные (хотя и не полностью) теоремам о линейно-квадратичной задаче. Помимо того, что изучение минимизации степенного функционала представляет самостоятельный интерес, задача эта тесно связана с задачей минимизации максимального отклонения, часто встречающейся на практике. При больших степенях р в степенном функционале оптимальный процесс, как правило, близок к некоторому оптимальному или почти оптимальному процессу для минимаксной задачи. Подробнее мотивировка линейно-степенной задачи обсуждается в главе 2.
Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней вводятся необходимые обозначения, используемые в диссертации. Большинство из них являются традиционными в теории оптимального управления.
В главе 2 обсуждается постановка задачи оптимального управления с минимизацией степенного функционала. Указана связь этой задачи с задачей минимизации максимума модуля выходного сигнала, в том числе с практическими задачами, рассмотренными рядом исследователей.
Поскольку тематика настоящей диссертации во многом связана с линейно-квадратичной задачей, то в главе 3 кратко приводится её постановка и решение для конечного и бесконечного (“частотная

Определение 5.2. Назовём задачей Рг(р,р,а,Т) следующую задачу: Найти минимум функционала Фр на множестве G(a).
Определение 5.3. Процесс (x(-),u(-)) е G(a) назовём оптимальным процессом в задаче Рг(р,р,а,Т), если
В настоящем разделе мы докажем разрешимость этой задачи при некоторых легко проверяемых условиях и явно предъявим её решение.
Отметим, что функционал (5.2) более естественный и важный, чем функционал (4.4), поскольку он квазиоднородный, и оптимальный процесс для него при некоторых условиях может сходиться к оптимальному процессу для минимаксного функционала.
5.1. Задача (р,р) на конечном интервале -формулировка результата. Отличие от задачи (1,р).
Пусть Г(-) - положительно определённая матрица-функция,
фигурирующая в определении функционала Фр. Введём следующую вспомогательную функцию §еС°([0,Т]хНп-»Нп):
Функция % непрерывна всюду, в том числе при V = 0, вблизи которого она
имеет порядок малости |у|2р 1.
Теорема 5.2.
1) Существует единственный оптимальный процесс для задачи
2) Пусть в задаче Рг(р,р,а,Т) a priori известно, что тождественно нулевое управление u s 0 не является оптимальным. Тогда на множестве
(5.3)
(5.4)
Рг(р,р,а,Т).