Алгоритмы оптимизации в системах канонических гиперболических уравнений с частными производными

• Автор: Бурдуковская, Анна Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 112 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Итерационные процессы принципа максимума
§1. Постановка задачи
§2. Формула приращения
§3. Принцип максимума
§4. Двухпараметрический итерационный процесс
Глава 2. Алгоритмы точной релаксации
§1. Нетрадиционный вид формулы приращения
§2. Линейно-вогнутая задача оптимального управления с
управляемыми коэффициентами
§3. Квадратичная задача оптимального управления с управляемыми коэффициентами
Глава 3. Оптимизация в классе гладких, ограниченных управлений
§1. Постановка задачи
§2. Допустимые вариации, формулы приращения на них
§3. Необходимые условия оптимальности
§4. Итерационные процессы внутреннего варьирования
Заключение
Литература

Введение
Теория оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана. Созданы эффективные вычислительные методы решения задач оптимального управления. В то же время число примеров их практического использования в управлении реальными естественно-физическими, инженерно-производственными или экономическими процессами сравнительно невелико. Это объясняется тем обстоятельством, что реальные процессы не столь часто могут быть описаны системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Как правило, состояние (как и управление) реального процесса является функцией не только времени, но и некоторых пространственных переменных. Отсюда наиболее естественно описание этого процесса системой уравнений с частными производными. Тогда мы приходим к задачам оптимального управления в системах уравнений с частными производными, которые имеют тот же смысл, что и задачи оптимального управления в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. В то же время при таком подходе мы совершаем глубокий качественный скачок, сравнимый с переходом от задач математического программирования к оптимальному управлению в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Действительно, класс уравнений с частными производными или уравнений математической физики значительно более широк, чем класс обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому разработка здесь общего анализа универсальных методов крайне затруднена глубокими различиями типов уравне-
ний, типов начально-граничных условий, а также известной незавершенностью качественной теории при кусочно-непрерывных управлениях. Отсюда исследование задач оптимизации в системах уравнений с частными производными или, как сейчас принято говорить, в системах с распределенными параметрами существенно привязано к конкретным типам задач (тип системы, связывающей состояние и управление, тип начально-граничных условий). Понятно, что эти исследования имеют тем большую актуальность, чем больше реальных прикладных задач описывается данным типом.
В настоящей работе рассматриваются задачи оптимального управления системами канонических уравнений гиперболического типа первого порядка с условиями Гурса [36]. Эта математическая модель весьма удачно используется для описания каталитических процессов в химии, и задача оптимизации в них моделирует процесс оптимизации работы химических реакторов с изменяющейся активностью катализатора [13,29-31,45-47,61]. Таким образом, задача имеет глубокий прикладной смысл. Впервые эта задача была исследована Г.М.Островским и Ю.М.Волиным [29-31,45-47], которые получили для нее необходимое условие оптимальности в виде поточечного условия максимума функции, аналогичной функции Л.С.Понтрягина для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование принципа максимума для решения конкретной задачи оптимизации работы химических реакторов, например, было дано в работе [13]. Однако, предложенный здесь алгоритм был далек от совершенства и практически не был математически строго обоснован. Этой задачей занимались многие ис-

Если ¥к(£к,ч) = 0 или @(ик) = О, то управление ик = д*(в, /) удовлетворяет необходимому условию оптимальности и в линейновыпуклом варианте задачи оптимально. В этом случае процесс останавливается.
Рассмотрим тот случай, когда
1Ук((к,тк)> о, ®(ик) > 0. (4.9)
Построим однопараметрическое семейство прямоугольников:
Рк{&) ~ [£& — у/Ё(Лк *[))> £к 4* /(®1 £&)] X
х[п - д/ё(п - *о), Ч + - т*)]> (4Л0)
шеэ Лс(е) = тевР е, теяР = (51 - «о)(<1 - <о), А(е:) с Р,
£ [о, 1],
и сформируем допустимую вариацию управления ик, которая является комбинацией игольчатой и классической вариации:
'«*.(«, *)» (в,*)€Ль(е),
е € [0,1], , 11
ик(з)+а[йк(8,г)-ик(з,г)], (в,г)еРРк(£), ' '
а € [0,1].

Решаем задачу двумерной минимизации на квадрате:
(єк, ак) = аг§тіп /(м*в), (є, а) Є [0,1]
(4.12)