Метод параметризации и его использование в вырожденных задачах

• Автор: Лутошкин, Игорь Викторович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 107 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1. Задачи оптимального управления, имеющие особое управление
1.2. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями
1.3. Дифференциально-алгебраические системы уравнений
2. МЕТОД ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
2.1. Постановка задачи и ее параметризация
2.2. Сходимость метода параметризации
2.2.1. Условия сходимости
2.2.2. Расширение терминальных ограничений
2.2.3. Теорема аппроксимации
2.3. Первые производные параметризованных функционалов
2.4. Вторые производные
2.5. Задачи с оптимизируемыми параметрами

3. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
3.1. Используемые методы и алгоритмы
3.2. Задача с особым управлением
3.3. Задача оптимального планирования с фазовым ограничением
3.4. Задача со смешанным критерием качества
3.5. Сингулярные задачи дифференциальных уравнений
3.5.1. Краевая задача с малым параметром при старшей производной
3.5.2. Дифференциально-алгебраическая система
3.5.3. Пнтегро-дифференциальная система
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена проблеме численного решения задач оптимального управления (ОУ) и нелинейных дифференциальных уравнений (ДУ). Эти классы задач являются одними из основных в математическом моделировании динамических процессов в различных областях техники, технологии, естествознания и экономики. Имеется достаточно широкий набор численных методов для различных типов задач, однако усложнение проблем, охватываемых математическим моделированием, приводит к вычислительным задачам, для которых известные методы становятся малоэффективными или неприменимыми. Это так называемые вырожденные или нерегулярные задачи оптимального управления и дифференциальных уравнений. Они представляют специальный класс некорректно поставленных вычислительных задач. Данная работа нацелена на развитие методов решения именно таких задач.
Остановимся подробнее на проблеме вырождения вычислительных задач для дифференциальных уравнений. При стремлении учесть как можно больше связей в исследуемом объекте в системе формальных соотношений появляется алгебраическая избыточность, приводящая к вырождению Якобиевых матриц в алгебраических подсистемах, а также невозможность приведения сложных систем уравнений к каноническим (нормальным) формам, что требуют стандартные методы решения. Кроме того, известны при-
1.3. Дифференциально-алгебраические системы уравнений

0(:е(£), ?/(£),£) следует дифференцировать по t до тех пор, пока ма-дкС ' „ п
трица —-г не станет невырожденной. Первое такое к и называется

дифференциальным индексом системы (1.3.4).
В качестве исходной задачи рассмотрим систему (1.3.4), пусть для нее определены краевые условия
Ьм(х(г0),у) =0, *
Ь,у (х(Т), у) = 0, ;' = 1
Требуется найти решение ж(£), г/(£) системы (1.3.4) с краевыми условиями (1.3.5) на временном интервале [йцГ].
В большинстве работ, посвященных данной тематике (см. [6, 7, 41, 65]), изучаются системы с дифференциальным индексом, равным единице. При этом наиболее общие методы численного решения начальных задач для нелинейных уравнений (1.3.4) основаны на комбинации разностных схем с методом Ньютона [41, 65]. В случае, когда система (1.3.4) имеет дифференциальный индекс больше единицы, задача (1.3.4), (1.3.5) некорректно поставлена и для ее решения следует использовать новые методы, в частности, методы решения некорректно поставленных задач.
В работе В.К.Горбунова [18] для линейных начальных и краевых задач обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений предложен метод нормальных сплайнов. Он оказался эффективным в случае произвольного вырождения решаемой системы относительно ее главной части (матрицы при производных или функции, при отсутствии таковых) [28]. В [22, п.5] предложен общий подход к решению нелинейных дифференциально-алгебраических систем, не зависящий от их индекса. Его реализация возможна в двух вариантах: частич-
(1.3.5)