Гарантированные дележи в игре без побочных платежей

• Автор: Оплетаева, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ДЕЛЕЖИ
§ 1. Максимины и их свойства
§ 2. Условие индивидуальной рациональности
§ 3. Дележи
§ 4. Существование дележей
ГЛАВА П. ГАРАНТИРОВАННЫЕ ДЕЛЕЖИ
§ 5. Формализация и свойства
§ 6. Геометрическая интерпретация
§ 7. Существование гарантированных дележей
§ 8. Игра с “разделенными” функциями выигрыша
§ 9. Линейно-квадратичная игра
ГЛАВА III. ГАРАНТИРОВАННЫЕ ДЕЛЕЖИ В ИГРЕ С “ИНФОРМИРОВАННОЙ”
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
§ 10. Формализация гарантированного дележа
§11. Существование гарантированных дележей
§ 12. Линейно-квадратичная игра
ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ ИГРА
ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
§ 13. Формализация гарантированного дележа
§ 14. Достаточные условия существования
гарантирующей ситуации
§ 15 Явный вид решения игры
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Разумная человеческая деятельность в большинстве случаев состоит в том, что человеку для достижения тех или иных целей приходится принимать решения. При этом представляется вполне естественным стремление принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. Постановки вопроса о выборе оптимальных решений встречались и встречаются в различных теоретических и прикладных дисциплинах, в частности, медицине, праве, военном деле, экономике, технике и т.д. По мере развития и математизации этих дисциплин соответствующие процессы принятия решений формализуются и приобретают характер математических моделей.
Современные социально-экономические явления характеризуются сложностью, неопределенностью, многокритериальностью, несовпадением интересов участвующих сторон и требуют специального математического аппарата, пригодного для их исследования. В этой связи в последнее время наблюдается стремительное повышение интереса к теории игр, основной задачей которой является исследование оптимальных решений в математических моделях конфликтных ситуаций.
Взаимодействие между людьми обычно включает в себя довольно тонкую смесь конкуренции и кооперации. Так, переговоры о некоторой закупке являются кооперативными (обе стороны желают совершить сделку) и, в то же время, конкурентными (каждая сторона стремится к условиям, более благоприятным для себя и тем самым менее благоприятным для другой стороны); политические партии конкурируют в поисках расположения избирателей, но кооперируются при образовании правящих коалиций. Подобные ситуации, анализируемые с рациональной точки зрения, известны под названием игр, их участники называются игроками (действия которых описываются множествами стратегий), а получаемые “доходы” - выигрышами. Игры, как правило, классифицируются следующим образом [48]: коалиционные игры, если принимающие решение игроки объединяются в фиксированные коалиции, члены которых могут свободно обмениваться информацией и принимать полностью согласованные решения; бескоалиционные игры, если каждая коалиция состоит из одного игрока; кооперативные игры, если допускается временное объединение игроков в любые коалиции для принятия совместных решений и, возможно, с последующим распределением полученного выигрыша (побочные платежи). Предметом исследования настоящей работы являются кооперативные игры, в которых запрещена передача части выигрыша от одного игрока к другому (игры без побочных платежей).
Теория игр возникла еще в начале XX века и первые ее результаты систематически изложены в монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна [43]. Авторы монографии подробно исследовали кооперативные игры и сформулировали для них понятия решений, сведя вопрос к изучению характеристической функции игры (первоначальных возможностей коалиций).
Однако классическая теория фон Неймана и Моргенштерна рассматривает исключительно кооперативные игры, в которых разрешены побоч-

ные платежи, а выигрыши игроков обладают свойством трансферабельно-сти, т.е. измеряются в одной шкале и могут передаваться без потерь и без ограничений [12]. В начале 60-х годов появляется теория (разработанная Ау-маном и Пелегом [61]) кооперативных игр без побочных платежей, предполагающая отказ от трансферабельности и побочных платежей.
Кооперативной игрой без побочных платежей обычно называется пара (14, V), где N = {1,2
1° К(К) с ЯК = {(/р

2. У(К) - непустое, замкнутое и исчерпывающее множество в Я ,
из /(1) =(/1(1)
следует еК(К).
Если Н - множество реально достижимых игроками векторов выигрышей, то
К(К) = {/ еЯЫ3/ = eH-.fi> Л О'еМ)}
Под решением игры без побочных платежей понимается некоторый вектор или множество векторов / е Я ' . Различные понятия решений (дележ, НМ-решение, С-ядро, К-ядро, ББядро, значение Шепли, М-устойчивость), возникающие в классических кооперативных играх, переносятся и на игры без побочных платежей. Так, например, дележ определяется [12, с. 686; 60, с. 543]
здесь как вектор выигрышей такой, что
тахК({0) О'еМ);
не существует вектора / е И, для которого / г> (г е К).
Исследование существования С-ядра для кооперативных игр без побочных платежей было проведено Л. Биллера [62] и X. Скарфом [69]. В.Б. Вилков построил необходимые и достаточные условия непустоты ядра для игр, в которых все У(К) и Я есть объединение выпуклых многогранников [9]. Б. Пелег в [68] установил существование НМ-решения для игры трех лиц (при некоторых предположениях о выпуклости характеристических множеств). Р. Стернз [71] построил примеры игр, не имеющих решения. Ряд работ был посвящен возможным аналогам вектора Шепли [66, 70]. Особую трудность в теории кооперативных игр без побочных платежей вызывает формализация эксцесса, представляющего основу для таких понятий, как БГ-ядро, К-ядро и т.д. По этому вопросу опубликован цикл работ, начало которых положили статьи Э. Калаи [64]. В России аналогичные исследования проводились С.Л. Печерским [50, 51], В.Б. Вилковым [10], О.Н. Бондаревой [63]. Краткий обзор результатов по кооперативным играм без побочных платежей имеется в книге [46, с. 217 - 220], обстоятельная библиография

Свойство 4.3. Если в игре Г[/] множества Х{ (г = 1,2,3) - компакты, функции /)(х,/)(/ = 1,2,3) непрерывны на X, то множество /(ЗГ/.И) слей-теровских дележей есть компакт.
Доказательство. Согласно [52,с. 142], из замкнутости множества /{Х{у(1],ус1) (У)(х,) (г = 1,2,3) непрерывны на компакте Х[у11) следует замкнутость множества слейтеровских дележей. Также f(XS[yd,yd) ограничено: 1(ХБ[ус1],ус1) а/(Х,уа), где /{Х,уй)~ компакт ((/1(х,уй)
(г = 1,2,3) непрерывны на компакте X). Поэтому множество /(Х5[у(1 ],уа) есть компакт.
Следствие 4.3 [52, с. 57, 143]. При условии, что в игре Т[уа] множества Х( (г = 1,2,3) - выпуклые компакты, а функции /](х,ус1) (г = 1,2,3) непре-
рывны на X и строго квазивогнуты по х, множество паретовских дележей 1{ХР[)>а],уа)~является компактом.