Операторные уравнения типа Вольтерра и обратные задачи восстановления памяти

• Автор: Калинина, Наталья Илларионовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Глобальная сходимость метода Ньютона в
обратных задачах восстановления памяти
§ 1. Постановка задач и основные результаты
§ 2. Редукция обратных задач к системам нелинейных
уравнений Вольтерра
§ 3. Доказательтво основных результатов
Глава 2. Два метода в обратной задаче для
интегродифференциального уравнения второго порядка
§ 1. Постановка задач и основные результаты
§ 2. Вывод операторных уравнений Вольтерра,
эквивалентных поставленным задачам
§3. Доказательства основных результатов
Литература

Введение
Под обратными задачами для дифференциальных уравнений понимаются задачи определения коэффициентов, правых частей уравнений, начальных или граничных условий по некоторым заданным функционалам от решений прямых задач. Тематика обратных задач достаточно обширна (см., например, [2],[3],[20],[21].) Настоящая работа, как следует из названия, посвящена изучению только тех из них, которые можно определить как обратные задачи восстановления памяти, т. е. ядра сверточного интегрального оператора. Поясним, что имеется в виду.
Процессы с памятью. Как известно, многие материалы в той или иной степени обладают свойством эредитарности, т.е. волновые процессы, происходящие в них, зависят не только от состояния тела в данный момент времени, но и от предыстории процесса. Основы теории таких процессов были заложены в работах Больцмана и Вольтерра (см.[9] и библиографию в ней). В последнее время наблюдается повышенный интерес к задачам с памятью. С одной стороны, это вероятно объясняется появлением новых материалов, в значительной мере обладающих указанным свойством, а с другой стороны, повышением точности измерений, которое позволяет сравнивать достоверно результаты экспериментов и предсказание теории. В качестве физической иллюстрации рассмотрим пример наследственно-упругого стержня с плотностью

р, совершающего продольные колебания под действием внешней силы /(ж, £). Уравнения движения имеют вид
дсг .д2и ди
- + /0М) = *=-;
сг(ж,і) = £7(ж) є(а:, і:) — Н(х,і — т)є(х,т) сітJ . (1)
Здесь х — координаты точки стержня, а(х,і) — напряжение, є(х, і)-деформация, Е(х)—мгновенный модуль упругости, /г(ж,£)—ядро релаксации. Последнее уравнение связывает деформацию и напряжение.Такая связь обуславливается предположением, что а зависит от є линейно и эта зависимость не меняется со временем, т.е. материал ”не стареет”(см.[14],[18],[19]). Кроме того, исходя из физических соображений, обычно предполагают, что /і(ж,£)—неотрицательная и невозрастающая (по і) функция. Система (1) может быть переписана в виде одного уравнения
д д [
р(х)ии - {Е(х)их) + — / Е(хЩх,і - т)их(х,т)(1т = /(ж, і). (2)
В многомерном случае вместо производной по х появляются градиент и дивергенция.
В плане постановки обратных задач, уравнения, возникающие при рассмотрении процессов с памятью, довольно сложны. Поэтому с точки зрения качественного анализа естественно возникают более простые модели таких уравнений. Например, считая Е и р равными единице, а кх достаточно малым, получают следующее модельное уравнение:

ии-ихх+ ! /г(ж,£ - т)ихх(х,т)с1т = /(ж,£). (3)

(Рд) 2 = — х 1 Ф[1 * 1 * Шц + 1*1*1* Ы * В А 1и>ы + 1 * 1 * /г$ * Ву
+ 1 * Р * Вуо + 1 * 1 * /го * ВА~1гши + Ы * Ви], (2.64)
а к, к2 определяются формулами (2.42),(2.43). С помощью линейной замены переменной уравнение (2.22) преобразуем к виду (2.25), определяя в этом случае оператор Р через Р, заданный формулами (2.63), (2.64). Задавая оператор (7 формулой (2.26) получаем уравнение (2.40), элементы которого определяются формулами (2.41)-(2.45).
Докажем теперь, что из непрерывности решения д уравнения (2.40) следует требуемая в теореме 1.3 гладкость функций и и /г.
Запишем систему уравнений (2.44), (2.45) в операторной форме (2.40), полагая Р Е — Л и производя замену д = д — к. Получим уравнение (2.22), элементы которого определяются по формулам (2.63), (2.64), (2,42),(2.43). Отсюда покомпонентная запись дает нам уравнения (2.62),(2.61). Из непрерывности вектор-функции д, уравнения (2.62) и ограниченности оператора А~х вытекает, что Лии € С([0,Т]; У), а из уравнения (2.61) Д С С[0,Т].
Преобразуем уравнение (2.62) с помощью (2.61) к виду (2.58), интегрируя которое с учетом представления (2.57) придем к (2.56). Отсюда и из ограниченности И-1 следует иш € О([0,Т];У). Интегрируя теперь уравнение (2.56) с учетом (2.53)-(2.55) получим равенство (2.52), откуда и из ограниченности Л-1 следует иц £ СДТДУ). Применяя теперь к (2.52) оператор А~1 выведем (2.51), дифференцируя которое дважды перейдем к уравнению (2.46).Проинтегрируем (2.46) с учетом условия (2.49), изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле. Полученное в результате этого уравнение имеет вид (2.46’).
Отсюда и из ограниченности оператора А-1 заключаем, что щ 6 67([0;Т],У). Интегрируем теперь (2.46’), меняя порядок интегрирования и используя (2.48). Получим уравнение (1.7), откуда заключаем Аи 6 <7([0,Т];Х), а значит гг € <7([0, Т]; У), т.к. оператор А"1 ограничен.