Исследование свойств обобщенной конечно-элементной аппроксимации

• Автор: Лебединская, Наталия Александровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 142 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Теоремы аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами
§1. Об образующих минимальных сплайнах
1. Образующие минимальные сплайны
2. Определяющие функционалы и аппроксимация
3. О вложенности пространств минимальных сплайнов
§2. Теоремы аппроксимации
1. Об аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами
2. Оценка приближения в равномерной норме
3. Оценка в норме пространства Г
4. Случай пространства Ьд, q >
5. Вычисление констант аппроксимации
Глава II. Конечно-элементная аппроксимация функций на
многообразии
§1. Построение аппроксимаций на многообразии
1. Аппроксимационные соотношения
2. Построение аппроксимаций на многообразии с помощью семейства плоских аппроксимаций
3. Общая схема
§2. О существовании и единственности в малом отрезков псевдопрямых
1. Построение специального атласа для поверхности
2. О сферических изображениях
3. О сегментах выпуклых областей
4. Структура абстрактного А-отрезка для близких точек выпуклой поверхности
5. Абстрактный А-отрезок для близких точек многообразия 70 §3. Аппроксимация функций на сфере и на сфере с вырезом
1. О построении триангуляции
2. Построение аппроксимации типа Куранта на сфере и на сфере с вырезом
3. Построение аппроксимации типа Зламала на сфере

4. Численная аппроксимация и пакеты программ

Глава III. О численном решении некоторых краевых задач
§1. Постановка задачи и описание приближенного метода
1. Постановка задачи
2. МКЭ для решения I-й краевой задачи с граничными минимальными сплайнами в качестве базисных функций
§2. О распараллеливании МКЭ для I-й краевой задачи
1. Об оценке погрешности
2. Оценка трудоемкости решения
2.1. Однопроцессорный компьютер
2.2. Параллельная вычислительная система
3. О реализации вычислений на векторных машинах
§3. О численном решении периодической задачи для дифференциального уравнения второго порядка с использованием обобщенных минимальных сплайнов
Приложение I. Графики и таблицы
Приложение II. Описание и текст программы решения 1-й
краевой задачи на векторных машинах
Описание программы решения I-й краевой задачи на векторных
машинах
Текст программы
Заключение
Литература

Введение
Конечно-элементная аппроксимация и сплайны широко применяются при решении задач математической физики и задач приближения. Такие важные задачи, как контроль за работой ядерных реакторов и предсказание погоды, требуют обработки большого количества информации, которая описывает состояние реальных физических систем. Математической моделью этих систем, как правило, и являются краевые задачи для уравнений математической физики. Решение этих задач проводится различными проекционными методами, среди которых одним из наиболее часто применяемых является метод конечных элементов (МКЭ).
В основе метода конечных элементов лежит понятие конечноэлементной аппроксимации. Основными чертами конечно-элементной аппроксимации являются:
1) триангуляция исходной области (или более общее клеточное подразделение),
2) кусочно-многочленный характер аппроксимации,
3) локальный интерполяционный базис.
Линейная комбинация элементов этого базиса сравнительно просто позволяет получить аппроксимацию интересующей функции.
В мировой литературе имеется большое количество работ по конечно-элементной аппроксимации. Отметим в этой связи работы С.Г. Михлина, Ф. Сиарле, Г. Стрэнга, Дж. Фикса. К упомянутым аппроксимациям примыкают аппроксимации сплайнами. В 1952
г. В.С.Рябенький впервые построил сплайны с локальным интерполяционным базисом. Дж.Гоэл (1968 г.) и С.Г.Михлин (1971 г.) получили базисные функции из аппроксимационных соотношений. Ю.К.Демьянович модифицировал эти соотношения и получил так называемые обобщенные минимальные сплайны.
Важными аспектами в изучении обобщенной конечно-элементной аппроксимации являются получение эффективных констант аппроксимации обобщенными минимальными сплайнами, нахождение оценок трудоемкости использования соответствующих аппроксимаций при решении задач математической физики, а также вопросы, связанные с построением конечно-элементной аппроксимации на многообразии. Исследование свойств обобщенной конечно-элементной аппроксимации может позволить в значительной степени оптимизи-

Введем обозначения:
ая,о(х) ~ \ья(хк,х),

ая,г(Х) — д ||Фга ||£гд(в—г,5—г+1) 1(д) (Х/Ь/ “Ь )|з 7 1, . , 771,

(3.8)
тогда оценка (3.7) будет иметь вид

|й(г)(аг)—«(г)(ж)| < —Т||и(т+1)||Ьр(ж),_г)Ж,_г+1)-а(г)Г.(а:), л Е (хк,хк+1).
/(Ь.

Покажем теперь, что утверждение леммы справедливо и для функции и{х) Е ¥™+1 (хк~т> %к+1)> к Е 2, р > 1. Пусть к — фиксированное целое число. Рассмотрим последовательность функций ип(х) Е Ст+1[хк_т,хк+1] сходящуюся к функции и(х) Е 1У™+1(хк-т,Хк+1)
: ип(х) -*4 и(х), п —> оо. Отсюда имеем, что и„ (х) -4 гг*) (ж),
п —> оо, г = 0
Убедимся, что молено перейти к пределу и в левой части неравенства (3.1). Воспользуемся теоремой вложения Соболева [19]: для функции / Е ]¥™+1(а, Ь), р > 1, справедливо неравенство
11/ 11С[а,Ь] < К№\ъу™ + 1 (а,Ь)1
где К — константа, не зависящая от /(ж), г = 0,
Таким образом, мы показали, что утверждение леммы справедливо и для функции и(х) Е УУ™+1{хк_т,хк+1), к Е 2, р > 1. Лемма доказана.
Замечание 2. Если функция и Е И/г+1(а,6), то ее можно про-доллсить до функции й Е ТУ™+1(а,Ф) ([а, 6] Э [а, Ь]) так, чтобы
||(т+1)ц[__ ||г1га+1|р[а!ь]. Такое продолжение й(х) функции гг (ж)