Численные методы решения задач дифракции волн на структурах с группой симметрии куба

• Автор: Загороднов, Игорь Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с.

Содержание.
Введение
Глава I. Метод конечных групп и симметрия правой части
операторного уравнения
1.1. Основные соотношения метода конечных групп
1.2. Алгоритм метода конечных групп, основанный на переходе в базис, присоединенный к разложению регулярного представления на неприводимые
1.3. Алгоритмы, учитывающие симметрию правой части операторного уравнения
1.4. Использование структуры группы симметрий граничной поверхности
1.5. Схема решения задачи дифракции волн на структурах с
группой симметрии правильного треугольника С3у
Глава П. Численное моделирование рассеяния акустических волн на
кубе
2.1. Структура группы куба и ее неприводимые представления
2.2. Основные соотношения метода конечных групп для
структур с группой симметрии куба
2.3. Задача Дирихле. Сравнение решений интегральных
уравнений I и П рода
2.4. Задача Неймана. Сравнение решений интегральных
уравнений I и II рода
2.5. Свойства метода конечных групп и использование
симметрии первичного поля в скалярном случае
Г лава Ш. Рассеяние электромагнитных волн на идеально проводящем
кубе
3.1. Постановка задачи и основные соотношения метода
конечных групп в векторном случае
3.2. Рассеяние плоской линейно поляризованной волны на идеально проводящем кубе. Сравнение решений интегральных уравнений I и П рода
3.3.Использование симметрии падающей волны в векторном
случае
Глава IV. Рассеяние акустических и электромагнитных волн на
кубических клетках
4.1 .Постановка задачи и геометрия рассеивателя
4.2.Рассеяние плоской акустической волны на кубической
клетке
4.3.Рассеяние плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на идеально проводящей
клетке
Публикации по теме диссертации
Литература
Введение
Исследование процессов распространения стационарных акустических и электромагнитных волн приводит к постановкам задач математической физики, которые принято называть задачами дифракции или рассеяния [39,63]. Такие задачи встречаются в геофизике, дефектоскопии, оптике, радиофизике, акустике и других областях науки и техники, где изучаются и применяются различные виды колебаний.
Известно [3,74], что строгое аналитическое решение задачи рассеяния удается получить лишь для ограниченного числа тел простейшей формы, когда переменные в волновом уравнении удается разделить за счет использования систем координат, одна из координатных плоскостей которой совпадает с поверхностью тела. Однако и в этом случае в резонансной области частот, когда размеры препятствия сравнимы с длиной облучающей волны, ряды плохо сходятся и требуют численного решения.
Среди применяемых подходов к численному решению задач рассеяния метод интегральных уравнений является, по-видимому, одним из наиболее универсальных и удобных для реализации на ЭВМ. Традиционно методы потенциала использовались в качестве аппарата для доказательства теорем существования и единственности исходных дифференциальных задач [39,63,73]. Применение интегральных уравнений к численному решению задач математической физики началось сравнительно недавно. Первые работы в этом направлении появились в начале 60-х годов, а после выхода в 1968 году монографии [70] численные методы (метод моментов, метод Галеркина) стали активно применяться для решения задач дифракции на рассеивателях различной формы. Отметим также работы [4,10,20,24,27] сыгравшие важную роль в развитии численных методов решения задач теории дифракции.
Современное состояние численных исследований подробно отражено в сборнике фундаментальных работ, опубликованных в период с 20-х по 90-е годы [67]. Следует однако подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на трехмерных рассеивателях в резонансном диапазоне частот, когда длина волны сравнима с размерами рассеивателя, в

настоящее время пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.
В диссертации рассматривается задача дифракции на трехмерных рассеивателях с ребрами и угловыми точками. Общей теории разрешимости для этого случая пока не построено. Теория акустических задач на замкнутых гладких поверхностях известна давно [40,41]. Общая теория разрешимости электромагнитных задач дифракции на гладких замкнутых поверхностях была построена уже к концу 60-х годов. С. Muller [73] смог довести до определенной завершенности эту теорию, доказав теоремы существования и единственности. Современное изложение теории разрешимости для акустических и электромагнитных задач теории потенциала на гладких замкнутых поверхностях имеется в монографии Д. Колтона и Р. Кресса [39].
Теорій разрешимости для скалярных задач на гладких многообразиях с краем (экранах) построена недавно в работах [68,79]. Основным инструментом в данных работах стала техника исследования псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах Соболева. При помощи этой же техники в последнее время A.C. Ильинским и Ю.С. Смирновым [35,36,54] построена теория разрешимости трехмерных векторных задач на незамкнутых гладких поверхностях с гладким краем.
Отметим, что на негладких (топологических) многообразиях, по-видимому, невозможно применение техники псевдодифференциальных операторов. Современное состояние теории граничных интегральных уравнений на негладких многообразиях для скалярных задач частично отражено в работе В.Г. Мазьи [45].
В связи с описанным выше состоянием теории при численном решении задач на поверхностях с ребрами и угловыми точками использовались интегральные уравнения, справедливые для гладких многообразий, хотя явного сглаживания особенностей поверхности не проводилось, но точки коллокации при этом в особые точки поверхности не помещались, и элементы разбиения поверхности не содержали внутри особых точек.
Исследованию дифракции электромагнитных волн на двумерных электродинамических структурах посвящены работы [14], [15], [20], [21], [28]. Достаточно полный обзор таких работ дан в монографии [49]. Приведенная там

Будем рассматривать функцию f(тi) на группе {Гд,} как функцию двух переменных
/О,',Г;) = = тк’Ъ е К, }>Ч е {г„2}.
Тогда имеем
7(<ь) = I ,«'№1=
= X I Г„11(Г;1)®С/<711(г:1)/(г-„гД= (1.26)
Г/е{гЛ1}гуе{гЛ2}
= I и*п{ф®/'К5)=7к,2)-
Выше использовался тот факт [48], что если (т2-) - неприводимое представление группы {ги.}, а IIа - неприводимое представление
группы {т„2Ь Т0 ИХ тензорное произведение 7/а (Г;) ® и а (/) является неприводимым представлением группы {Гдг} = {гИ)} ® {т}, и все неприводимые представления группы {Гд,} представимы в таком виде.
Если группа {ты } имеет р представлений , то р = рхр2 , где р}, р2 -число неприводимых представлений нормальных подгрупп {гЛ] } и {тп > } . Обозначим с1а - размерность сг, -го представления группы {г;У}, причем = с1а с1а , где й и с1а - размерности неприводимых представлений групп {гП[} и {т)12} соответственно. Непосредственный подсчет показывает, что вычисление всех коэффициентов Фурье по группе {Гд,.} требует

выполнения N — А7 умножений. Подсчитаем число умножений

необходимое для вычисления коэффициентов Фурье в соответствии с представлением (1.26).