Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида

• Автор: Еряшкин, Михаил Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 78 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Инварианты действия полупростой алгебры Хопфа
§1.1. Предварительные результаты
§1.2. Инварианты кодействия кополупростой алгебры Хопфа
§1.3. Контрпример к конечной порожденности
Глава 2. Наибольшая подалгебра Хопфа в биалгебре
§2.1. Наибольшая обратимая подкоалгебра
§2.2. Подалгебры Хопфа в слабо конечных биалгебрах
Глава 3. Кольца Мартиндейла и инвариантные характеристические многочлены
§3.1. Предварительные результаты
§3.2. Конечномерность кольца Мартиндейла
§3.3. Классическое кольцо частных
§3.4. Расширения с инвариантными характеристическими многочленами
§3.5. Инварианты действия точечных алгебр Хопфа
Глава 4. Поле инвариантов кольца Мартиндейла
§4.1. Предварительные результаты
§4.2. Орбитальные подалгебры и стабилизаторы
§4.3. Действие пространства интегралов алгебры Хопфа
§4.4. Частные случаи
Литература

Введение
В этой диссертации обобщаются некоторые классические результаты теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре специального вида, гомоморфно отображающейся на коммутативную область целостности.
Хорошо известно, что для произвольной группы G на групповой алгебре kG можно задать структуру алгебры Хопфа, причем всякое действие группы G автоморфизмами на некоторой алгебре А дает действие алгебры Хопфа к(7 на алгебре А [14, глава 4]. Таким образом, понятие действия алгебры Хопфа обобщает действия групп автоморфизмами, а значит имеет смысл рассмотреть задачу переноса ряда фактов классической теории инвариантов на случай действия алгебр Хопфа. Классическим результатом теории инвариантов, принадлежащим Э. Нётер, является факт о том, что алгебра А является целым расширением подалгебры инвариантов Ас в случае действия конечной группы G автоморфизмами на коммутативной алгебре А. Как обобщение этого результата Монтгомери был поставлен вопрос о том, будет ли коммутативная Я-модульная А целым расширением подалгебры инвариантов Ан, в случае, если Я конечномерна [14, 4.2.6, р.45]. Положительный ответ на данный вопрос был получен в следующих случаях:
1. Я — ко коммутативная алгебра Хопфа, этот результат был получен в работах Феррера-Сантоса [10] и Шнайдера [18];
2. char к не делит dim Я и Я инволютивна, или char к ф 0 и корадикал Я кокоммутативен, в работе Жу [26];
3. Я — точечная алгебра Хопфа и А — аффинная целостная алгебра, в работе Артамонова [1, теорема 4];

4. char к = p > 0 или А не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, устойчивых относительно действия Я, в работе Скрябина [19, proposition 2.7].
Контрпримеры, построенные в работах Жу [26] и Тотока [6], обусловлены наличием в А ненулевых нильпотентных //-инвариантных идеалов. Если А конечно порождена как алгебра, свойство А быть целой над Ан равносильно тому, что А конечно порождена как модуль над Ан, и в этом случае Ан конечно порождена как алгебра.
В случае, когда алгебра Хопфа не является кокоммута.тивной, коммутативных //-модульных алгебр оказывается недостаточно много, например нельзя утверждать, что действие алгебры Хопфа II на произвольном //-модуле V можно продолжить до действия на симметрической алгебре S(V). Таким образом имеет смысл рассмотреть действие алгебры Хопфа Я на более широком классе Я-модульных алгебр.
Определение 1. Обозначим через А (или, более точно, Ан) категорию, объектами которой являются пары (А, За), где А — некоторая Я-модульная алгебра, За — идеал в А такой, что факторалгебра 5д = А/За коммутативна, и За не содержит ненулевых устойчивых относительно действия Я идеалов алгебры А.
Морфизмы в категории А — это гомоморфизмы //-модульных алгебр ф : А —> В с условием Ф(За) С Зв-
Для краткости будем говорить об алгебрах из категории А без явного упоминания идеалов За- Обозначим через яд : А —> £д каноническую проекцию.
Аналогичный вопрос о том, будет ли А конечно-порожденным модулем над Ан, и Аи конечно-порожденной к-алгеброй, представляет интерес и

§3.2. Конечномерность кольца Мартиндейла
В этом и следующих параграфах будем считать, что алгебра Хопфа Я конечномерна. По прежнему С} — (2я(И), (3 = (3(£а)- Определим отображение /3 : <2 ®дя (2 —> Нот(Я, С}), по правилу
ф(д®а)(/і) = q'KQha),
где ц Є С}, а Є С}, б Є Н. Заметим, что Нот(Я, (3) — <3 0 Н* является алгеброй Хопфа над полем <3 и левым Я-модулем относительно действия (/г /)(е) = /(є/і). На (3 (3 зададим структуру левого Я-модуля по
формуле /і03 % 0 Ь,;) = <7* 0 Мі-
Теорема 3.2.1. Пусть Я — конечномерная алгебра Хопфа. а А — алгебра из категории А такая, что является областью целостности. Тогда:
1. сііпідя (3> < біт Я,

5. 5ф = ф,
4- отображение /3 являет,ся вложением, Я -модульной алгебры С}®с}нС} в алгебру Хопфа Нот(Я, (3),
5. алгебра (3 является фробениусовым кольцом, и не содержит нетривиальных Н-инвариантных идеалов,
6. для любого идеала. Т в А выполняется равенство = 6(3}.
Доказательство. Заметим, что 1®<3 является Я-модульной подалгеброй в алгебре <3®дя(3, и порождает её как векторное пространство над <3, причем элементы из <3 0 1 инвариантны относительно действия Я. Покажем, что