О разрешимости диофантовых уравнений малых степеней

• Автор: Хессами Пилеруд, Татьяна Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. О диофантовых уравнениях Пелля
§1. Необходимые условия разрешимости уравнения х2
§2. О разрешимости уравнения х2
§3. Системы диофантовых уравнений Пелля
Глава II. О диофантовых уравнениях третьей степени
§1. Вспомогательные утверждения
§2. Доказательство теоремы о неразрешимости уравнения
х3 + у3
п. 1. Сведение задачи к 4 случаям
п. 2. Случай 1. (с = 1, а = 1)
п. 3. О вспомогательном уравнении од3 + <Уз%3 = ЗодХ3
п. 4. Случай 2. (с = 1, а = 3)
п. 5. Случай 3. (с = 0, а = 1)
п. 6. Случай 4. (с = 0, а = 3)
§3. О диофантовом уравнении ах3 + Ъх2 + сх + с1у + е
Литература.

ВВЕДЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена решению в целых и в натуральных числах уравнений второй и третьей степени. Она относится к элементарной теории чисел.
Широко известным диофантовым уравнением является уравнение вида
ж2 - Му2 = 1,
где N — положительное целое число, не являющееся точным квадратом. Его обычно называют уравнением Пелля. Хорошо известно, что это уравнение имеет бесконечное множество решений в целых числах х, у. Наибольшее проникновение в характер решений дает алгоритм непрерывных дробей (см., например [36, с.104]).
Вопрос о существовании решений так называемого уравнения „минус Пелль”
ж2 - Му2 = -1 (0.1)
более труден и простых точных условий для его разрешимости неизвестно.
Д. Морделл в своей известной монографии [1] поставил задачу о получении простых условий для разрешимости в целых числах х, у уравнения (0.1).
Непосредственно из уравнения (0.1) следует, что необходимым условием его разрешимости в целых числах является представи-

мость N в виде суммы двух квадратов взаимно простых чисел. Известно также, что уравнение (0.1) разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда длина периода цепной дроби числа y/N равна нечетному числу (см., например,[33, с. 123]).
Заметим также, что период непрерывной дроби для y/N — всегда нечетное число, когда N является простым числом р и р = 1 (mod 4) (см. [36]).
Одним из результатов диссертации является следующее необходимое условие разрешимости этого уравнения.
Теорема 1. Пусть уравнение (0.1) разрешимо в целых числах. Тогда существует представление числа N в виде N = А2 + В2, где А и В — натуральные числа, (А, В) — 1, причём А является нечетным числом и квадратичным вычетом по модулю N.
В частности, отсюда следует, что при
N = 34
уравнение (0.1) неразрешимо в целых числах.
Действительно, нетрудно увидеть, что для этих значений N справедливы только следующие представления
N = 34 = 2 17 = З2 +
N = 205 = 5 41 = (I2 + 22)(42 + 52) = 142 + З2 = 62 +
§1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
л о су су 1 /-» Q
х + у — pq а и , ж — ху + у — q ~ av . Аналогично имеем
а(х + у) и а|(ж2-жу + у2),
следовательно,
а3ху,

а|3 (т.к. (®,у) = 1),
т.е.
ае {1.3}.
и лемма доказана.
Лемма 5. Пусть p,q — простые числа, р = 2 (mod 3), q = 1 (mod 3), 4q — p2 ф 3 (mod 9).
Тогда либо

либо
ф 0 (mod 3),

——- ф 0 (mod 3).
Доказательство. Предположим, что р2

Тогда
= 0 (mod 3).
р2 = q2 = 1 (mod 9).
Из (2.4) и (2.5) следует, что q = 1 (mod 9). Тогда