Группы автоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга

• Автор: Фаустова, Инна Леонтьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 91 с.

ВВЕДЕНИЕ
В последний десятилетия с проникновением в теорию абелевых групп модульных, гомологических, топологических, теоретико-категорных идей и методов стали интенсивно изучаться различные классы абелевых групп без кручения. Однако в решение проблем, связанных с группами автоморфизмов абелевых групп без кручения, эти новые методы не привели к существенным сдвигам.
Абелевы группы без кручения, являясь бесконечными группами, могут иметь конечную группу автоморфизмов. При изучении таких групп, а именно, групп с конечной группой автоморфизмов, возникают две задачи:
(1) для данного класса конечных групп выяснить, какие группы из этого класса реализуются как группы автоморфизмов абелевых групп без кручения?
(2) по заданной конечной группе Н, реализуемой как группа автоморфизмов абелевой группы без кручения, описать все группы G с AutGH
Одними из первых работ в направлении решения задачи (1) являются работа Groot J. [22] и работа Vries
H., Miranda A.B. [26] . В первой из них доказано, что
существуют 2К неизоморфных абелевых групп G без кручения мощности К с группами автоморфизмов AutG = Z(2) . Позднее Л.Фукс усилил этот результат, заменив К любым бесконечным кардиналом М, меньшим первого сильно недостижимого [21]. Во второй - найдены все конечные группы Н порядков, не превосходящих 8, для которых

существуют G с AutG
Центральным результатом для абелевых групп без кручения, связанным с задачей (1), является теорема Холлета-Хирша [18, с.318; 23]:
если конечная группа Н является группой автоморфизмов группы без кручения G, то группа Н изоморфна некоторой подгруппе конечного прямого произведения групп следующих типов : Z(2), Z(4) , Z(6) , Q8, DCn или BT24
Позднее Hallett J.T., Hirsh К.A. [25] установили такие необходимые и достаточные условия на конечную группу Н, чтобы существовала абелева группа G без кручения с AutG = Н . Итак, Дж.Холлет и К.Хирш дали полное описание конечных групп, которые могут служить группами автоморфизмов абелевых групп без кручения, то есть полностью решили задачу (1).
Что же касается строения самих абелевых групп без кручения с той или иной конечной группой автоморфизмов (задача (2)), то вопрос остается открытым [10, вопрос 4.43]. Более того, как следует из результатов работы Dugas М., Gobel R. [20], для всякой конечной группы Н, реализуемой в качестве группы всех автоморфизмов некоторой абелевой группы без кручения и произвольного бесконечного кардинала М, существуют 2м неизоморфных абелевых групп G без кручения мощности М с AutG = Н . Этот результат показывает, что едва ли, вообще, возможно полное решение проблемы описания абелевых групп G без кручения с конечными AutG
Все известные результаты, полученные до конца 70-х годов в направлении решения задач вида (2), фактически представляют собой примеры сильно неразложимых

групп (7 без кручения, группы АыС которых изоморфны той или иной конечной группе. С.Ф.Кожуховым изучены квазиразложимые группы конечного ранга с конечными группами автоморфизмов, найдена полная система инвариантов для таких групп [4, 7] . Им предложен метод
построения квазиразложимых групп (7 без кручения с ИгЖ7, изоморфными одной из названных выше шести групп Холлета-Хирша [9]. Задача описания строения квазиразложимых групп конечного ранга с конечными группами автоморфизмов фактически полностью решена.
Согласно [7] изучение квазиразложимых абелевых групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов сведено к изучению сильно неразложимых групп с конечными группами автоморфизмов. Группы автоморфизмов последних изоморфны Z(2), 2(4), А(6) , (78, ВСХ1, ВТ24 [6]. Важную роль при изучении сильно неразложимых групп с конечными группами автоморфизмов играют группы минимального ранга с такими группами автоморфизмов. Этот минимальный ранг равен единице в случае, когда группа автоморфизмов изоморфна 2'(2), двум - в случаях А(А), 1{6), и четырем - в случаях (А%, ВСп,ВТ24 [24]. Известно, что группа автоморфизмов группы ранга 1 изоморфна А(2) тогда и только тогда, когда характеристики типа этой группы не содержат символов оо. Что касается групп ранга 4, группы автоморфизмов которых изоморфны (2%, £>С12 , ВТ24 , то имеется лишь ряд примеров таких групп ([18, с. 320-321], [24],
[2 6]) . А вот группы ранга 2, группы автоморфизмов которых изоморфны Z(4) или Z(6) полностью описаны в ра-

§3. СИЛЬНО НЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ГРУППЫ
Как отмечалось в §1, для любого элемента нулевой характеристики OaeG элементы а и <р(а) линейно независимы. Рассмотрим фактор-группу G/F, где F = (а)© ®{(р{а)). Тогда существуют два таких непересекающихся множества лх и л2 простых чисел, что
G/F= 0Z(/O0 ®Z(qn), (1)
р&л1 qex2
причем р = l(mod(4 + 2S)) и q = l(mod(4 + 2ô)).
Если в разложении (1) л2-0, а лх конечно лх
( 1 / к
= [рх
р=р

ведение рхп рх" . Очевидно, что mG d(a)®(ç>(a)). Следовательно, G - квазиразложима, а значит, как отмечалось в §2, G - свободная группа. Этот случай описывается теоремой 2.3.
Если в разложении (1) л2=0, а лх - бесконечно, то
в этом случае строение группы G описано в работе [11] (см.§1), где, в частности, показано, что AutG s Z(4 + 25).
Пусть теперь л2-0. Тогда из [8] следует, что AutG = Z(4 + 25) х Hz г и<К0. Образующий группы Z(4 + 25)

есть тот самый фиксированный автоморфизм (р. Надо определить образующие и количество групп Z. То есть рассматривается задача: описать сильно неразложимые
группы G без кручения ранга 2, обладающие автоморфиз-