Абелевы и нильпотентные подгруппы максимального порядка конечных простых групп

• Автор: Вдовин, Евгений Петрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление
1 Введение
§1 Общая характеристика основных результатов работы
§2 Обозначения из общей теории групп
§3 Строение конечных групп лиева типа
§4 Линейные алгебраические группы
2 Абелевы подгруппы максимального порядка некоторых конечных
групп
§1 Абелевы подгруппы максимального порядка в симметрических и знакопеременных группах
§2 Абелевы унипотентные подгруппы конечных
групп Шевалле. Основные теоремы
§3 Большие абелевы унипотентные подгруппы в
группах 02(0)
§4 Большие абелевы унипотентные подгруппы в
группах 3Л4(д3)
§5 Большие, абелевы унипотентные подгруппы в
группах и 2Е4(д)
§6 Большие абелевы унипотентные подгруппы в
группах Е6(д) и 2-®б(ц2)
§7 Большие абелевы унипотентные подгруппы в
группах Е7{д)
§8 Большие абелевы унипотентные подгруппы в
группах Е8(д)
§9 Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле.
Итоговая таблица
§10 Большие абелевы подгруппы спорадических
групп
3 Абелевы подгруппы максимального порядка конечных групп Шевалле
§1 Вспомогательные результаты
§2 Большие абелевы подгруппы в группах Ап(д)
§3 Большие абелевы подгруппы в группах Сп(д),
// >
§4 Большие абелевы подгруппы в группах 2А„(д2)
§5 Большие абелевы подгруппы в группах Оп{д) и 2Д,(д2)

§6 Большие абелевы подгруппы в группах Вп(д), д нечетно
§7 Большие абелевы подгруппы в группах (2”)
§8 Большие абелевы подгруппы в группах С?2(<5Г)
§9 Большие абелевы подгруппы в группах -РД?) и 2Е{д)
§10 Большие абелевы подгруппы в группах Б6(д)
§11 Большие абелевы подгруппы в группах 2£6( §12 Большие абелевы подгруппы в группах £т(д)
§13 Большие абелевы подгруппы в группах Е&(д)
§14 Большие абелевы подгруппы в группах 3И4(3)
§15 Итоговая таблица
4 Большие нильпотентные подгруппы конечных простых групп
§1 Большие нильпотентные подгруппы симметрических и знакопеременных групп
§2 Общее строение нильпотентных подгрупп в простых алгебраических
группах
§3 Большие нильпотентные подгруппы конечных
групп лиева типа
§4 Большие нильпотентные подгруппы спорадических групп
5 Большие нормальные нильпотентные подгруппы конечных групп
§1 Известные результаты
§2 Доказательство теоремы
6 Некоторые следствия
§1 Абелевы АВА факторизации конечных простых групп
§2 Большие нормальные нильпотентные подгруппы в конечных группах

Глава
Введение
§1 Общая характеристика основных результатов работы
После объявления о завершении классификации конечных простых групп в 1980 году одной из основных задач в теории конечных групп стала задача изучения различных свойств известных конечных простых групп. В частности, важную роль приобретает задача изучения подгруппового строения известных конечных простых групп. Особый интерес исследователей вызывают максимальные, максимальные разрешимые, максимальные нильпотентные и максимальные абелевы подгруппы. Изучению абелевых и нилытотентных подгрупп максимального порядка конечных простых групп посвящена настоящая работа.
Основной пласт известных конечных простых групп составляют конечные простые группы лиева типа. Группы лиева типа условно делятся на 16 классов. Шесть классов составляют, так называемые, классические группы, и десять - исключительные. Поскольку именно в группах лиева типа изучение подгруппового строения представляет наибольшую сложность, большая часть диссертации посвящена изучению конечных групп лиева типа. Из-за тесной связи между конечными группами лиева типа и связными простыми алгебраическими группами, определенными над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики, в данной работе получены некоторые вспомогательные результаты о подгрупповом строении линейных алгебраических групп.
Строение и порядки различных подгрупп специального вида конечных групп лиева типа интенсивно изучались рядом различных авторов. Строение силовских р-подгрупп в том случае, когда р совпадает с характеристикой поля определения получено первооткрывателем конечных групп лиева, типа — Шевалле. В его честь конечные группы лиева типа часто также называют конечными группами Шевалле. Далее, Картер, Фонг, Вейр и Уонг в работах [23], [45] и [50] нашли строение силовских г-подгрупп в том случае, когда характеристика поля определения отлична от г. В 60-х годах рядом различных авторов были найдены строение и порядки максимальных торов в конечных группах Шевалле. В 1972 Картер в своей работе [21] предложил простой универсальный способ нахождения порядков максимальных торов во всех конечных группах Шевалле нескрученного типа в терминах диаграммы Дынкина и допустимых диаграмм. В конце 60-х и начале 70-х годов рядом авторов

имеет простой порядок г ф р. Пусть С1 = [СДх)0, С<з(.г')°] — подсистемная подгруппа. Если А — диаграмма Дынкина, корневой системы группы С1, то справедливо одно из следующих утверждений:
1. Д получается удалением вершин из диаграммы Дынкина группы С;
2. А получается из расширенной диаграммы Дынкина группы С удалением одной вершины Гг, где г = — коэффициент при корне г, в разложении корня г0.
В частности, если г не является плохим, простым числом для группы С, то Дп/ДСДа;)0)) 1.
Далее напомним алгоритм нахождения всех подсистем системы корней Ф, принадлежащий Борелю и ди Зибенталю [16]. Рассматривается расширенная диаграмма Дынкина системы Ф. Диаграммы всех возможных подсистем системы Ф получаются вычеркиванием некоторого количества вершин из расширенной диаграммы Дынкина для Ф и повторением указанной процедуры для каждой полученной компоненты связности.
Лемма ЗЛ.4. [22, теоремы 11.3.2, Д.5.1 и 14-5.2] Справедливы следующие изоморфизмы:
1) Ап-х{ф) = £,„(?) = РвЬДу), п 2;
2) В„(д) = Рй2п+Дд), п 3;
3) Сп{д) Э? РВр2ге(д); п > 2;
4) В„(д) РП+п(д), п 4;
5) 2Д,,(д2) * РЩДу), п > 4;
6) 2ЛП(д2) Э РРРп+1(д2), п > 2;
7) В2(3) “ 2Л3(22), Вп(2а) й Ся(2°), В2(д) й С2(д).
Следующая лемма объединяет результаты, полученные в [13], [14], [48] и [49]. Случаи ортогональных групп малой размерности, не указанные в ней, можно найти в [48].
Лемма ЗЛ.5. Пусть д = р“. Тогда
1) аДСРДд))
2) аД5р2п(д)) = д11;
3) ар(02п+1(д)) = при п3,р2;
4) аДСДДд)) = при п 4;
5) аР(02п(д)| = д<П 1>+2 при п 5;
6) ар(08"(д)) = д6;
ар(С/„(д2)) = д[т1.
Лемма ЗЛ.6. [28] Пусть V — п-мерное векторное пространство над конечным полем СР{([), С СЬ(у), Н <аС, (|С/Я|,д) = 1, ступень нильпотентности (3/Н не превосходит 2. Тогда 1) в/Н < д";
2,) Если С сохраняет невырожденную билинейную форму } на V, то С/Н
2£(п)й'[§]; гуе
, . ГО, если а или п четное, ( 8, если о = 3 или 5,
е(п) “Л 1 ° 1 1 ,
Г 1, если д и гг нечетные, [ 1 + д в противном случае.