Алгебраические множества над абелевыми и нильпотентными группами

• Автор: Федосеева, Юлия Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 56 с.

Оглавление
Введение
1. Алгебраические множества над абелевыми группами
1.1. Уравнения над абелевыми группами
1.2. Категория С-групп
1.3. Канонический вид системы уравнений над абелевыми
группами
1.4. Классификация алгебраических множеств
1.5. Описание координатных групп
2. Алгебраические множества над нильпотентными группами
2.1. Уравнения над нильпотентными группами
2.2. Классификация алгебраических множеств в О1, С
2.3. Невырожденные системы уравнений
2.3.1. Переход к мальцевским пополнениям
2.3.2. ’’Хорошее” подмножество множества решений невырожденной системы уравнений
2.3.3. Примеры
2.3.4. Высоты элементов нильпотенДной группы без кручения
2.3.5. Структура множества решений невырожденной системы уравнений

Введение
Настоящая диссертация посвящена созданию основ алгебраической геометрии над абелевыми и, более общо, над нильпотентными группами. Основной проблемой в классической алгебраической геометрии является проблема классификации алгебраических множеств над заданным полем к. Здесь под алгебраическим множеством понимается множество решений системы полиномиальных уравнений с коэффициентами из поля к.
Системы уравнений над группами изучались во многих работах по теории групп и к настоящему времени получено большое количество результатов о системах уравнений и множествах их решений. В работе [ВМИ] Г. Баумслаг, А. Мясников и В. Ремесленников перенесли основные понятия классической алгебраической геометрии на категорию всех групп. Были определены аналоги кольца многочленов, аффинного пространства, алгебраического множества, идеала, кольца регулярных функций, введена топология Зарисского, понятие неприводимого алгебраического множества. Также в [ВМ11] были изучены свойства этих понятий и взаимосвязи между ними. В указанной работе система понятий подобрана таким образом, чтобы она работала достаточно эффективно для групп, близких к свободным, например, для гиперболических групп. Так, основным понятием в ней является понятие С-области. Для развития алгебраической геометрии для многообразий групп, отличных от многообразия всех групп, большинство понятий, сформулированных в этой статье, пригодны, но им необходимо придать форму, более удобную для данного многообразия. Так обстоит дело, например, с понятием уравнения. Кроме того, многие понятия, например, (г-область, не работают для разрешимых и нильпотентных групп, так как любая такая группа не является С-областью. Поэтому для развития алгебраической геометрии для нильпотентных и разрешимых групп потребовался дополнительный набор понятий и новые методы доказательства теорем.
В диссертации построены аналоги основных понятий алгебраической геометрии над абелевыми и нильпотентными группами, полностью классифицированы алгебраические множества над абелевыми группами и дано описание координатных групп для них. В случае нильпотентных групп ситуация оказалась существенно сложнее. Вряд ли удастся получить удовлетворительную классификацию всех алгебраи-

чсских множеств над нильпотентными группами. Поэтому в диссертации выделены конкретные системы уравнений над нильпотентными группами, для которых классификация все же возможна.
Опишем содержание работы по главам. В первой главе специализируются понятия алгебраической геометрии над группами для многообразия абелевых групп, исследуются системы уравнений над абелевыми группами и их множества решений.
Параграф 1 главы 1 содержит определения аналогов кольца многочленов, аффинного пространства, алгебраического множества, идеала, определение координатной группы.
Важным понятием в алгебраической геометрии над группами является категория О-групп. В параграфе 2 дано определение С-группы, исследованы свободные конечно порожденные абелевы С-группы, определены категории С-дискриминируемых и С-аппроксимируемых абелевых групп. Здесь же определяется характеристика £ (С) для произвольной абелевой группы С, с помощью которой удается классифицировать координатные группы для алгебраических множеств над абелевыми группами и описать все С-аппроксимируемые абелевы группы. Основным результатом является
Теорема 3. Пусть С абелева группа и Н — конечно порожденная С-группа: Н = С® Щ. Тогда Н аппроксимируется группой С если и только если £ (Но) < £ (С).
В параграфе 3 изучаются системы уравнений над абелевыми группами. Вводятся определения матрицы над абелевой группой, определителя такой матрицы, элементарных преобразований над ней. Изучены свойства определителя и получен канонический вид матрицы над абелевой группой и канонический вид системы уравнений над абелевой группой. Доказан аналог теоремы Кронекера - Капелли для абелевых групп без кручения.
В параграфе 4 определяются морфизмы алгебраических множеств и классифицируются алгебраические множества над абелевой группой. Теорема 5. Пусть ¥ С О" — алгебраическое множество. Тогда с точностью до изоморфизма алгебраических множеств ¥ имеет вид:
(ОД, 5 С[ег], с,. , С)
где е7; £ М, е;|ег+1, г = 1
Основным результатом параграфа 5 является теорема, дающая описание координатных групп над абелевой группой О:

гк — неизвестные, которые принимают значения только из £((?), будет системой уравнений над П(О). Так как 51 совместна, то и полученная система 5 уравнений также будет совместной, и так как Б(О)— абелева группа, то система Б имеет единственное решение (г®
Предложение 8. Пусть Б —- система уравнений над нилъпотент-ной группой С от п неизвестных, матрица которой имеет следующий канонический вид:
/ Є1 0 0 0 0 0
0 Є2 0 0 0 0 , (33)
0 0 е,. 0 .. оу
где Єіеі+і, і = 1
{хе( = и1(х1
А2 = Мхі,. -. ,хп,д2),
х7 = иг(хі
где Уі Є 72(<Т[Х]).
Доказательство. Элементарным преобразованиям столбцов матрицы [5] соответствуют нильсеновы преобразования уравнений системы и замена переменных:
N1. х, —> х{х, хк —> хк, к ф і,і і ф у,
N2. х{ —> ххі, хк —> хк, к ф і.] г ф і
N3. Хі —У жф1, хк —> хк, к ф і,
N4. хі —) Жу, Жу -—> Хі, хк —> хк, к ф г, у і ф у.
Нильсеновы преобразования переводят совместную систему в совместную, а множества решений новой и исходной систем изоморфны
Определение 31. Пусть невырожденная система уравнений Б над нильпотентной группой (Т имеет, канонический вид (34). Будем на-зыватъ переменные жГ+і