Аддитивные задачи с числами, имеющими заданное число простых делителей из прогрессий

• Автор: Жукова, Алла Адольфовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
Введение
1. Теоремы типа А.И.Виноградова-Бомбьери
1.1. Вспомогательные результаты
1.2. Распределение множеств значений арифметических мультипликативных функций по арифметическим прогрессиям в среднем
1.3. Распределение множеств чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий прогрессий, по арифметическим прогрессиям в среднем
2. Задачей типа проблемы делителей Титчмарша
2.1. Вспомогательные результаты
2.2. Определенный аналог
2.3. Неопределенный аналог
3. Задачи типа проблемы Харди-Литтлвуда
3.1. Вспомогательные результаты
3.2. Определенный аналог
3.3. Неопределенный аналог
Литература

Введение
Настоящая диссертация посвящена доказательству того, что множество значений арифметических функций при подходящих условиях на эти функции и множество чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий, равномерно распределены по арифметическим прогрессиям в среднем, а также решению бинарных аддитивных задач.
Одна из них - это задача о нахождении числа решений уравнений вида
N = х2 + у2 4- п (0-1)

п — х2 — у2 — а, (0-2)
где а ф 0 - фиксированное число, х , уб Ъ, х2 + у2 < N , N —юо, а п может принимать значения из некоторого множества £ С N. Вопрос о числе решений уравнений вида (0.1) и (0.2) получил название задачи типа проблемы Харди-Литтлвуда (определенный и неопределенный аналоги соответственно).
В мемуаре [1] 1923 года Г.Харди и Дж.Литтлвуд высказали гипотезу.
Гипотеза. Всякое большое число N есть сумма простого числа и двух квадратов. При этом имеет место асимптотическая формула: для числа решений Q(N) уравнения
N — х2 -)- у2 -)
имеем
= *чюп (> + ) П+ нт’ (0'3)
Р р№

Х4(р) ~ неглавный характер по модулю четыре,

-Й(ЛГ) - остаточный член.
В одной из работ более позднего периода Г.Харди и Дж.Лит-тлвуд, заметили, что доказать существование такого представления для почти всех чисел можно используя расширенную гипотезу Ри-мана. Г.Стенли [2] доказала, что почти все числа представимы в виде суммы простого и двух квадратов, применяя круговой метод. Она же вывела асимптотические формулы для количества представлений натурального числа в виде суммы большего числа квадратов и простых, в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана. Однако результаты, полученные Г. Стенли, зависели от недоказанных гипотез. Этот недостаток впоследствии был устранен Т.Эстерманом [3] и другими математиками.
В 1957 году К.Хооли [4] вывел асимптотическую формулу (0.3) используя расширенную гипотезу Римана. В 1959 году Ю.В.Линник [5] доказал справедливость гипотезы Харди-Литтлвуда без условия справедливости расширенной гипотезы Римана. В 1963 году Б.М.Бредихин [6], применяя созданный Ю.В.Липником [7] дисперсионный метод, решил неопределенный аналог проблемы Харди-Литтлвуда, то есть вывел асимптотическую формулу для числа решений уравнения (0.2), когда п принадлежит множеству простых чисел.
В эти годы многие математики, такие как Х.Халберстам [8] и
С.Човла [9], занимались решением задач типа проблемы Харди-Литтлвуда. Так Ю.В.Линник [10] нашел число решений уравнения (0.1), когда Е - множество чисел, представимых в виде РР2 , где рг и Р2 - простые числа. Он доказал.
Теорема А. Пусть <5і(Лг) - число решений уравнения
A.A.Полянский посвятил несколько работ задачам типа проблемы Харди-Л иттлвуда [11], [12], [13]. в которых ранее полученные результаты уточнялись и обобщались (см. [14]), снимались различные ограничения (см. [15]), а остаточный член уменьшался.
N = X2 + у2 +Р1Р-2, где pi > exp(lnlnn)2 , і — 1, 2 , тогда

£ 1 = £ 1 + О (Ь(<Ио))
{р,ЛдЛ)=

Имеем
V = V — —-'2
*<<3.
(<0<4<))
гпах шах <р[а) (а,«г)=1 ¥<®
1 ц>(ф>) 1
*><„, -г и;
р—1(то<3 со)
+ О (1л2 ж)
По условию теоремы йо < 1лС° ж . Воспользуемся первым равенством леммы 1.1. Получим

(<*.<*о)
Ж)~Ж)+0(?ехр(~с'Л**
+ О (1п2 х)
•С ж1п в х.
В результате при к — 1 и (Эс1о < /ж(1пж)-Б-т , имеем

<к<э,
(<Мо)
тах тах
(а,<£)=1 у<х

п<У, п£Е(г,1,<1 о), пЕо(тов 4)
¥>00

п<у, пеЩ*,1,Ао), (»,<0
<С ж1л д ж
То есть при А: = 1 теорема верна.
Предположим теперь, что к > 2 и < > Т, где Т = (1л ж)ззВ+162 . Обозначим через СОМо) сумму С2(х,1,о£0), в случае < > Т. В сумме <2х(®» <, (/о) выделим сумму но наименьшим простым делителям л и получим, что указанная сумма не превосходит

<*<а,
(<М0)
тах тах
(а,с!)—X !/<х

*<р<*1/к, р=1]Дтос) Л())

п€лг 1<р2.
п=ар(тос1 (2)

1 №
»ея1(р,12
<*<<2,
(<Мо>
Е /м+Ея»)
п<», п=а(то<1 с!)

= Е+Е,
где р такое, что р р = 1(тос1 (I) ,