Нефраттиниево факторизуемые группы

• Автор: Довженко, Светлана Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 77 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
ГЛАВА 1 ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
ГЛАВА 2 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
2.1 Методы доказательств
2 .2 Используемые результаты
ГЛАВА 3 ЛОКАЛЬНО ПОЧТИ РАЗРЕШИМЫЕ НЕФРАТТИНИЕВО
ФАКТОРИЗУЕМЫЕ ГРУППЫ
3.1 Общие свойства нефраттиниево факторизуемых
групп
3.2 Конечные нефраттиниево факторизуемые группы
3.3 Локально конечные нефраттиниево факторизуемые группы
3.4 Локально почти разрешимые нефраттиниево факторизуемые группы
ГЛАВА 4 ПРИМАРНО СТУПЕНЧАТЫЕ НЕФРАТТИНИЕВО
ФАКТОРИЗУЕМЫЕ ГРУППЫ
4.1 Предварительные результаты
4.2 Примарно ступенчатые нефраттиниево факторизуемые группы
4 . 3 Некоторые следствия
4.4 Линейные нефраттиниево факторизуемые группы
4.5 Нефраттиниево факторизуемые 2-группы
ВЫВОДЫ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Для удобства чтения в этом разделе приведены необходимые в диссертации обозначения и определения. Используемые в работе без ссылок обозначения и определения стандартны ( их можно найти в книгах [26,29, 35] )
N - множество всех натуральных чисел.
Р - множество всех простых чисел.
р,Ч, - некоторые простые числа.
я (О) ~ множество всех простых делителей порядков
элементов группы в.
1 - единичная группа и единичный элемент группы.
С/К - факторгруппа группы С по подгруппе К.
де9 - элемент д принадлежит группе С.
дёС “ элемент д не принадлежит группе в.
АсгВ ~ множество А содержится в множестве В.
АсгВ множество А содержится в множестве В и Ав.
АсдВ ~ множество А не содержится в множестве В.
А < с - А подгруппа группы С.
А < С - А истинная (отличная от С) подгруппа группы С.
А А С - А нормальная (инвариантная) подгруппа
(нормальный делитель) группы С.
А А С - А истинная нормальная подгруппа группы С.
Ыо(А) - нормализатор подгруппы А в группе С.
Сс(А) - централизатор подгруппы А в группе С.

г{6) - центр группы
АхВ ” прямое произведение групп А и В.
7ХВ - полупрямое произведение групп А и В.
|а | - порядок элемента а.
|С| - порядок группы С.
| С:А| - индекс подгруппы А в группе С.
«1(6) - пересечение всех подгрупп конечного индекса
группы 6.
ф(0} - подгруппа Фраттини группы С.
И (О) - подгруппа Фиттинга группы С.
в' - коммутант группы 6.
Нф ~ образ подгруппы Н при отображении <р.
Нс=пНд - наибольшая нормальная подгруппа группы О,
содержащаяся в Н.
СЬП(Г) - общая линейная группа.
РЗЪП(Е) - проективная специальная линейная группа.
Определение!. Подгруппа А группы О называется дополняемой в б, если существует такая подгруппа В группы Gf что б=АВ и АпВ=1. Подгруппа В при этом называется дополнением подгруппы А в С.
0пределение2(Я. В.Черникова [3]). Группа О называется вполне факторизуемой, если каждая ее подгруппа дополняема в ней.
ОпределениеЗ. Говорят , что группа О факторизуема своими подгруппами А и В, если 0=АВ, т.е.
С={аЬ|а еА,Ь е В}
(Очевидно, С=АВ тогда и только тогда, когда 0=ВА. )
3.1. Общие свойства нефраттиниево факторизуемых групп
Группа G называется нефраттиниево факторизуемой, если GO(G) и каждая ее нефраттиниева подгруппа дополняема в ней.
В настоящем разделе устанавливается ряд
результатов общего характера относительно свойств подгруппы Фраттини произвольной группы и свойств произвольных нефраттиниево факторизуемых групп. Они используются в последующих разделах.
3.1.1.ЛЕММА. Подгруппа Фраттини O(G) группы G не имеет отличных от единицы дополняемых в G конечнопорожденных подгрупп.
Доказательство. Действительно, если для конечного множества К элементов (G) и некоторой подгруппы Н группы G G=H, то G=. Поскольку произвольный элемент подгруппы O(G) можно удалить из любой системы образующих группы G (теорема 2.2.11), то G=H. Следовательно, Н может дополнять <К> в G лишь в случае, когда <К>=1.
Лемма доказана.
3.1.2. ЛЕММА. Пусть G - группа и N - ее нормальная подгруппа. Тогда ЫФ (G) /NçO (G/N)
Доказательство. Можно считать, что G/№?(G/N). Пусть H/N - произвольная максимальная подгруппа факторгруппы G/N и 0(G/N)=K/N. Очевидно, что Н максимальная подгруппа группы G. Следовательно, Ф(С)<=Н, и, значит, ЫФ (G)/NczH/N. Поэтому, ввиду произвольности Н/N, ЫФ (G)/NçzK/N.