Расположение подгрупп в группах автоморфизмов

• Автор: Панин, Александр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 76 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Теория Галуа для дедекиндовых структур
§1. Понятие дедекиндовой структуры
§2. Соответствия Галуа
§3. Формулировка основной теоремы
§4. Свойства носителя
§5. Вспомогательные утверждения
§6. Сетевые наборы в
§7. Доказательство включения К С Го (Г)
§8. Доказательство основной теоремы
§9. Дополнительные сведения о сетевых наборах
§10. Применение к линейным группам
§11. Описание замкнутых объектов
§12. Дополнение: извлечение "трансвекций”
Глава 2. О нижней гирлянде решеток подгрупп в линейных группах
§13. Понятие гирлянды
§14. Общий случай
§15. Вычисление нормализатора
§16. Вычисление нижней гирлянды
§17. Сепарабельные алгебры
§18. Случай полной линейной группы
§19. Случай специальной линейной группы
§20. Элементарный подход

Основные результаты
Литература
Введение

Построение теории Галуа для двух частично упорядоченных множеств позволяет в ряде случаев серьезно облегчить задачу исследования свойств объектов одного из этих множеств. Так, с помощью классической теории Галуа полей оказывается возможным сводить многие вопросы теории полей к теоретико-групповым и успешно их решать. Например, разрешимость уравнения в радикалах напрямую зависит от свойств группы Галуа многочлена, определяющего это уравнение.
Классические результаты Галуа о соответствии между промежуточными подполями конечного расширения Галуа полей и подгруппами группы автоморфизмов этого расширения обобщались многими авторами на случай различных классов колец.
Под построением теории Галуа в некотором классе колец обычно понимается доказательство основной теоремы о соответствии Галуа между определенными типами конечных (или приведенно конечных) групп автоморфизмов кольца и определенными типами под-колец из данного класса (см. [31]).
Картаном [35] и Джекобсоном [41] была построена теория Галуа тел. Хохшильд [40] и Накаяма [44] обобщили эту теорию на класс простых артиновых колец. Дьедонне [37] построил теорию Галуа для вполне примитивных колец. Розенберг и Зелинский [46] распространили теорию Галуа на полные кольца непрерывных линейных преобразований. Некоммутативная теория Галуа получила дальнейшее развитие в работе Чейза, Харрисона и Розенберга [36]; В.К.Харченко [30] построил теорию Галуа в классе областей, первичных и полупервичных колец. Также заслуживают упоминания отдельные результаты других авторов [39,43]. Подробная библио-

дествлять каждый такой класс с конкретным его представителем. Таким образом, С? = ОЬ(п,Щ ий = (?(Ло) = Л(п,Л).
Если х = ёги для некоторого г, где и - правый идеал в Л, то будем отождествлять х и и.
Опишем множества Нгз(х). Через еы мы обозначаем матрицу из М(п,Л), у которой в позиции (к,1) стоит единица, а все остальные элементы - нули.
Легко видеть, что Н1}{х) совпадает с множеством матриц вида сЄц + ... + спепп + аеі, где все с; € Л*, а аИ = х (очевидно, что Нгз{х) непусто тогда и только тогда, когда х - главный идеал в И).
Проверим, что в этой ситуации выполняются условия 1° — 15°, наложенные выше.
1° — 3°. Очевидно.
4°. Из условий, наложенных на кольцо Л, вытекает, что в разложении R/J(R) М(гаі,Ті) Ф ... 0 М{п8:Т8) все М(щ,Тг) отличны от 2- Легко видеть, что если полное матричное кольцо над телом отлично от Ш2, то оно аддитивно порождается элементами є — 1 (є Є і?*). Поэтому и RjJ(R) аддитивно порождается элементами такого вида. Так как для любого У Є J(R) элемент 1 + j обратим [15, с.192], то это же свойство верно и для Л.
Пусть а = (<%), а-1 = (а
1 1 [аа~ (єі)]г = аг{(є - 1 )аігВ

[а([а~ (Єі)]*)]г = аГіаиЕ
Поэтому все следует из сказанного выше.