Вероятностные приложения тауберовых теорем

• Автор: Якымив, Арсен Любомирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 199 с.

0 Г Л А В Л Е Н И Е

Введение
Глава I. Тауберовы теоремы
§; I. Некоторые классы функций и их свойства
§ 2. Многомерные тауберовы теоремы
§ 3. Одномерные тауберовы теоремы
Глава II. Две предельные теоремы для критических ветвящихся процессов Беллмана-Харриса
§ 4. Предельная теорема для условных конечномерных распределений процесса
§ 5. Предельная теорема .для числа долгоживущих частиц
Глава III. Асимптотические свойства некоторых классов без-

гранично делимых распределений
§ 6. Вероятности больших уклонении для безгранично делимых
случайных величин
§ 7. Асимптотика плотности безгранично делимого распределения на бесконечности
Глава 1У. Асимтотические свойства случайных А-подстановок § 8. Предельные теоремы .для А-подстановок в случае единичной асимптотической плотности множества А
§ 9. Предельные теоремы для А-подстановок в случае положительной асимптотической плотности множества А
§ 10. Примеры множеств А, .для которых справедливы предельные теоремы
Глава У. Предельные теоремы в схеме рекордов
§ II. Асимптотика вероятностей больших уклонений для меж-
рекор, ЦНЫХ времен
§ 12. Асимптотика к-ых рекордных моментов
Литература
ВВЕДЕН И Е
Абелевыми называют теоремы, выводящие из асимптотики последовательностей и функций асимптотические свойства их производящих функций и преобразований Лапласа (а также других интегральных преобразований) Теоремы, обратные к абелевым, называют тауберовыми. Эти теоремы носят название в честь соответственно Абеля и Таубера, впервые доказавших теоремы таких типов (см. [46,6бД ). Обычно при доказательстве абелевых теорем применяют прямые математические методы. Доказательство же соответствующих тауберовых теорем бывает существенно сложнее, и здесь используется широкий арсенал средств математического анализа.
Существенный вклад в становление и развитие тауберовой теории оказали такие известные математики, как Г.X.Харди, И.Е.Лит-тлвуд, Н.Винер, М.Карамата, М.Б.Келдыш, И.Кореваар (см. работы [14, 55, 57, 58, 59, 60, 65] ).
Глубокое распространение тауберовой теории на обобщенные функции дано В.С.Владимировым, Ю,Н.Дрожжиновым и Б.И.Завьяловым
Широкое применение тауберова теория получила в теории вероятностей. Тауберовы теоремы при исследовании асимптотических задач теории вероятностей применяли, в частности, Б.А.Севастьянов, В.Фелдер, Н.Г.Бингхем, В.А.Ватутин, В,М.Золотарев,
А.А.Новиков, А.Г.Постников и ряд других математиков (сад, например, работы [5, II, 20, 27, 30, 33, 47] ).
В настоящей диссертации содержатся дальнейшие исследования как по тауберовой теории, так и ее вероятностным приложениям.
Диссертация состоит из введения и пяти глав, содержащих 12 параграфов. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация же формул, теорем, лемм, следствий и т.п. своя в каждом параграфе. При ссылке на формулу, теорему и т.п. из другого параграфа к

соответствующему номеру добавляется еще ж номер параграфа. Так, например, (10.15) означает 15-утс формулу в § 10, теорема 5.2 означает 2-ю теорему § 5.
Первая глава посвящена тауберовым теоремам и состоит из трех параграфов. Первый параграф носит вспомогательную роль - в нем исследуются те обобщения правильно меняющихся функций, которые в дальнейшем будут использоваться в тауберовых теоремах. Второй параграф посвящен многомерным тауберовым теоремам, а третий -одномерным.
Прежде, чем сформулировать основные результаты главы I, введем некоторые понятия.
Пусть Г - замкнутый выпуклый острый телесный конус в гс с вершиной в нуле, то-есть, замкнутое выпуклое множество в /2 , такое, что для всех ХвГ и О !хеГ, причем ж (и! Г*ф0 , где
Г* = (у>х)>0 еГ}.

При этом сопряженный конус / тоже будет выпуклым острым и телесным.
Положим $ ~ г{°} ? & = МГ, с - си! г*, г г
Запись ос с (ос <- у) будет означать, что эс>с/ > у-х 6 Г (Х€- Г 7С/ф у- х € (г Аналогичным образом вводится отношение порядка в конусах Г*,С. Естественным образом теперь можно ввести понятие монотонной функции (в Г ? & у Г* или С ) Скажем, функцию мы будем называть неубывающей в Г , если
при ОС Ф £су) И т.д. При Уь — 1 положим
Г - {!' * > о
будем обозначать X (X) :
((Л) = / е~а,Х)/С*)<£х

X . Преобразование Лапласа функции -£ на Г
§ 2. ШОГОШРЫЫЕ ТАУБЕРОШ ЇЕОРМі.

Пусть Г - замкнутый выпуклый острый телесный конус В к, с вершиной в пуле, то-есть, замкнутое выпуклое множество В такое, что для всех хеГ и Л~>о Ах бГ, причем си!ГФ0 где
су,х)о Ухе г}.
При этом сопряженный конус Л тоже будет являться замкнутей
выпуклым острым И телесным. Положим S — ГЧ°}, £
С = си!Г* . Запись
Г- г
х СХ < у)
будет означать, что х? с/ - эс е Г (хе Гу |Л, У~х є &)
Аналогичным образом вводится отношение порядка в конусах &3 Г*
С * Естественна« образом теперь можно ввести понятие монотонно! функции (в Г? (х> Г* или С ). Скажем, функцию -£(х) мы будем называть монотонно неубывающей в Г , если жри х т.д. Преобразование Лапласа и Лаплаеа-Стильтьеса функции У ж меры Г на Г , будем обозначать соответственно
«х'Х '"'о
через /ФА) и АСЛ.) :
/Ул) =

(везде далее, ктоме главы 2) в предположении, что они сущестцу-С л.
ют при А>а дм некоторого а & Г , Поскольку преобразование
Лапласа - Стильтьеса сводится к преобразованию Лапласа, а
именно:
ГГЛ) ~ Тел)/СЛ) у А е Су А)

где Сх") гг / У-’ У - ->г} > 1 С Л) - преобразование Лапла-
са функции, тождественно равной 1 , то мы будем доказывать та-