AG-преобразования поверхностей положительной гауссовой кривизны с граничными условиями

• Автор: Забеглов, Александр Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 79 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ВРАЩЕНИЯ ВЕК-
ТОРНЫХ ПОЛЕЙ §1. Некоторые классы функций и функциональные
пространства
§2. Свойства операторов Т/, Г,/ в С"(Е>)
§3. Основная лемма теории обобщенных аналитиче
ских функций
§4. Вращение векторного поля на плоскости
§5. Изометрически сопряженная система координат
ГЛАВА 2. О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§1. Исследование разрешимости краевой задачи А
§2. Исследование разрешимости краевой задачи Б
ГЛАВА 3. Ав-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ С ГРАНИЧНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
§1. Вывод уравнения Ав-преобразования
§2. Некоторые вспомогательные результаты. Индекс
поверхности. Свойства функции
§3. Существование нетривиальных АО-преобразова
ний при граничных условиях
§4. Однозначная определенность поверхности относительно ее АО-преобразований при граничных
условиях
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Одним из важнейших разделов дифференциальной геометрии является теория отображения поверхностей. Классическим примером отображений является преобразование одной поверхности в другую с сохранением некоторых наперед заданных свойств поверхности. К числу таких преобразований относятся изометрические преобразования поверхностей, преобразование поверхностей с сохранением грассманова образа, ареальные преобразования и другие виды преобразований поверхностей.
Изометрические преобразования характеризуются сохранением при преобразовании поверхности длин всех кривых лежащих на поверхности. К настоящему времени изометрические преобразования достаточно хорошо изучены. Аналитически вопрос об изометрических преобразованиях двумерной поверхности Е2 в трехмерном евклидовом пространстве Е3 можно свести к вопросу разрешимости системы трех квазилинейных дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций, рассматриваемых в некоторой плоской области. Одним из основных результатов в теории изометрических преобразований является теорема А.В.Погорелова об однозначной определенности общей замкнутой выпуклой поверхности [16]. Если из замкнутой выпуклой поверхности вырезать некоторый кусок так, чтобы полная кривизна поверхности стала меньшей Ал, то поверхность перестает быть однозначно определенной. Более того, она станет изгибаемой. Однако если на край поверхности наложить некоторую внешнюю связь, то поверхность вновь может стать однозначно определенной. Исследования различного рода внешних

Для выполнения условия (ух ) < ех достаточно, чтобы функция
у(г) и параметры с,. были достаточно малы, т.е. существовало такое е > 0, что С' (у(г); сЮ) < е < ех и |с, | < е. В этом случае уравнение (Т.25) имеет отличное от нуля решение м>(г) е С'(£>) в шаре Са0*0 < Ра Решение м> = м’(2,с1,с2
Покажем, что при заданной функции у(7) каждой совокупности параметров с/ и с", которые удовлетворяют условию Ы <г,|с,"| <е,с,'с", хотя бы некоторым / соответствуют разные решения тт'(г) и и'"(д) уравнения (1.25).
Действительно, имеем тождество:
IV' - М)" = А2'И'/ - К2М>" +у1 -ух , где У и ух" значения уи при с,. = с,.'и с,. = с,"соответственно. Если «/'= и1", то из тождества следует ух-у,"
Отсюда следует, что
2(с, -с, )и0.

Причем, с/ф с" хотя бы для некоторых г, что противоречит полноте системы решений IV,.. Следовательно, и'Уи’".
2) Случай п < 0. Для доказательства второй теоремы 2.2, достаточно показать, что система уравнений (1.26) имеет в шаре С* (и>) < р0 не