Преобразования специальных спайнов 3-многообразий и дополнительные структуры на спайнах

• Автор: Маковецкий, Артем Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 88 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ ДОМИНИРУЮЩЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО СПАЙНА И ДОМИНИРУЮЩЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ПОЛИЭДРА. СПАЙНЫ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНЕНТАМИ
§1.1. Специальные полиэдры и их преобразования
§1.2. Специальные спайны 3-многообразиий
§1.3. Помеченные специальные спайны и их преобразования
§1.4. Вздутия помеченных спайнов. Сингулярные триангуляции. 27 §1.5. Специальные спайны с вложенными 2-компонентами
ГЛАВА II. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ СПАЙНЫ
§2.1. Ориентация спайнов и преобразования спайнов
§2.2. Ориентированные спайны гомологических сфер
ГЛАВА III. РАЗВЕТВЛЕННЫЕ СПАЙНЫ
§3.1. Разветвленные специальные спайны.
Связь между разветвленными
и ориентированными спайнами
§3.2. Разветвленная структура и преобразования спайнов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
В топологии трехмерных многообразий, возникшей в начале XX века, остается много нерешенных проблем. Не существует классификации трехмерных многообразий (далее 3-многообразий), не решена трехмерная гипотеза Пуанкаре. Важной частью трехмерной топологии является описание различных способов задания 3-многообразий. К числу классических среди них можно отнести задание 3-многообразий с помощью триангуляций, разбиения Хегора. В 60-х годах возникла теория специальных спайнов 3-многообразий. В основании теории лежит теорема Каслера, утверждающая, что любое 3-многообразие имеет специальный спайн и что по своему специальному спайну многообразие восстанавливается однозначно [10]. Таким образом, специальные спайны являются еще одним способом задания 3-многообразий.
Определение. Компактный подполиэдр Р 3-многообразия М называется спайном многообразия М, если многообразие М коллапсиру-ется на полиэдр Р.
Коллапсирование-это процесс применения к триангулированному многообразию элементарных симплициальных стягиваний. Элементарное симплициальное стягивание состоит в отбрасывании открытого главного симплекса вместе с его открытой свободной гранью.
Используется также эквивалентное определение.
Определение. Компактный 2-полиэдр Р в 3-многообразии М с краем называется спайном многообразия М, если пространство М Р гомеоморфно <9М х [0,1).
Спайн замкнутого 3-многообразия М-это спайн многообразия М /п£(Г>3), где £)3-шар в многообразии М.
Определение. Компактный 2-полиэдр Р называется специальным полиэдром, если выполняются следующие условия:
1) линк каждой его точки гомеоморфен одному из следующих одномерных полиэдров: а) окружности; Ь) окружности с диаметром; с) окружности с тремя радиусами;
2) в Р есть хотя бы одна точка с линком типа с);
3) любая 2-компонента (т.е. компонента связности точек полиэдра с линком типа а) ) полиэдра Р гомеоморфна открытой двумерной клетке.

Типичные окрестности точек специального полиэдра изображены на рис. 1.
Определение. Слайн 3-многообразия называется специальным, если он является специальным полиэдром.
В дальнейшем значительный прогресс в развитии теории спайнов был связан с работами С.В. Матвеева [14], [1]. В частности, им была разработана теория элементарных преобразований специальных полиэдров. Эта теория применяется в доказательстве эквивалентности гипотезы Зимана для специальных полиэдров объединению гипотез Пуанкаре и Эндрюса-Кертиса, в гамильтоновой механике и гиперболической геометрии, при определении инвариантов Тураева-Виро.
Многообразие по своему специальному спайну восстанавливается однозначно с точностью до гомеоморфизма, но при этом многообразие имеет много разных специальных спайнов. Аналогичная ситуация имеет место в теории узлов: один и тот же узел может быть задан с помощью разных диаграмм. Связь между разными диаграммами одного и того же узла описывается с помощью преобразований Рейдемейсте-ра. По аналогии с теорией узлов возникает вопрос о перечислении преобразований, позволяющих переходить от одного специального спайна данного многообразия к любому другому.
Опишем два преобразования специальных полиэдров.
Выберем в специальном полиэдре Р ребро е, инцидентное ровно двум вершинам полиэдра. Рассмотрим регулярную окрестность Ei ребра е в полиэдре Р. Пересечение окрестности Ei с остальной частью специального полиэдра Р гомеоморфно объединению двух окружностей, соединенных тремя дугами. Подполиэдр Е изображен на рис. 3.
Рассмотрим подполиэдр Е%, который представляет собой поверхность треугольной призмы вместе со средним треугольником и тремя прямоугольниками, которые присоединены к поверхности призмы вдоль трех ее ребер.
Естественная граница подполиэдра гомеоморфна естественной границе подполиэдра Е. Если заменить подполиэдр Е на подполиэдр £д, то получим новый специальный полиэдр Q.
Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра Р к специальному полиэдру Q обозначается через М. Преобразование,

Рис. 20.
Рис. 21.