Геометрические свойства локально минимальных сетей

• Автор: Иванов, Александр Олегович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 336 с.

МОСКОВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
На правах рукописи
Иванов Александр Олегович
УДК 514.77+512.816.4+517
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНО МИНИМАЛЬНЫХ СЕТЕЙ
01.01.04 — геометрия и топология
ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва
Содержание
Введение
1 Исторический обзор
2 Основные результаты теории абсолютно минимальных
сетей
2.1 Общие факты из теории абсолютно минимальных
сетей
2.2 Оболочки Штейнера
2.3 Гексогональная система координат
2.4 Абсолютно минимальные деревья, затягивающие
множества специального вида
2.5 Минимальные остовные деревья как приближенные решения проблемы Штейнера
3 Основные результаты теории локально минимальных сетей
3.1 Плоские локально минимальные бинарные деревья
с выпуклой границей
3.2 Невырожденные плоские локально минимальные
сети с выпуклой границей
3.3 Локально минимальные сети в других объемлющих пространствах
4 Краткое содержание диссертации
1 Обобщенные сети на многообразиях
1.1 Графы: топологический подход
1.1.1 Топологические графы, их эквивалентность
1.1.2 Маршруты, пути, циклы
1.1.3 Подграфы, остовы
1.1.4 Операции над графами
1.1.5 Граница графа, локальный граф
1.1.6 Взвешенные графы, остовы минимального веса
1.2 Общее определение сети
1.3 Параметрические сети
1.3.1 Параметрические сети, приведенные параметрические сети, компоненты вырождения
1.3.2 Гладкие, кусочно-гладкие, вложенные и погруженные параметрические сети
1.3.3 Граница параметрической сети. Замкнутые параметрические сети
1.3.4 Эквивалентности параметрических сетей
1.3.5 Длина параметрической сети на римановом многообразии
1.3.6 Взвешенная длина параметрической сети
1.3.7 Деформации параметрических сетей
1.3.8 Формулы первой и второй вариации длины кривой
1.3.9 Формула первой вариации длины геодезической
параметрической сети
1.3.10 Вторая локальная геодезическая вариация погруженных параметрических сетей
1.3.11 Форм}'ла первой вариации взвешенной длины геодезической параметрической сети
1.4 Сети-следы
1.4.1 Следы
1.4.2 Граница следа. Замкнутые следы
1.4.3 Длина следа
1.4.4 Канонический представитель
1.4.5 Деформации следов
1.4.6 Локальное устройство следов
Минимальные сети: естественные обобщения проблемы
Штейнера
2.1 Глобальная и локальная минимальность
2.2 Локально минимальные параметрические сети и следы
2.2.1 Слабо локально минимальные параметрические с.ети107
2.2.2 Сильно локально минимальные параметрические
сети
2.2.3 Локально минимальные взвешенные параметрические сети
2.2.4 Локально минимальные сети-следы
2.2.5 Общая задача о поиске локально минимальных сетей
2.3 Разные классы сетей — разные минимизационные задачи
2.3.1 Замкнутые параметрические сети фиксированного
типа
3. Локально минимальные сети.

Паркет с наростами
Скелеты
Рис. 9: Паркет с наростами и соответствующие ему скелеты.
предъявить явно способ построения соответствующего локально минимального бинарного дерева с выпуклой границей.
В серии работ А. А. Тужилина и автора, см. [43], [45], [50], [51] начато исследование всех локально минимальных сетей, затягивающих вершины правильных многоугольников. Эта задача была поставлена А. Т. Фоменко в [26]. А. А. Тужилин в [82]- [84] завершил полное описание всех локально минимальных бинарных деревьев, затягивающих вершины правильных п-угольников, в важном частном случае, когда соответствующие им паркеты являются скелетами. Оказалось, что среди скелетов, допускающих правильную минимальную реализацию, имеется две бесконечные серии и одна конечная по п серия.
В работе [56] автором и А. А. Тужилиным получены некоторые новые ограничения на возможные топологии локально минимальных бинарных деревьев, затягивающих вершины правильных многоугольников. Кроме того, в [56] изучаются локально минимальные сети затягивающие множества точек, близкие к правильным многоугольникам. Оказывается, на таких граничных множествах локально минимальные сети устроены существенно иначе. А именно, в [56] построена бесконечная серия квазиправильных многоугольников (многоугольников, множества вершин которых лежат на окружности и не сильно отличаются от множеств вершин соответствующих правильных многоугольников), которые нельзя затянуть ни одним локально минимальным бинарным деревом. Сформулируем соответствующий результат.
Пусть Р — {Рг} — правильный п-угольник, вписанный в единичную окружность 51 с центром в нуле, и е — неотрицательное число, меньшее чем л/п. Пусть 5 = (*’1