Экстензорные свойства G-пространств и их пространств орбит

• Автор: Густаво Вильялобос Эрнандес
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава 0. Основные понятия и свойства.
§1) Топологические группы
§2) Группы преобразований
§3) Трубки и срезы
Глава 1. Обращение теоремы о существовании трубок.
§1) Трубки и группы Ли
§2) Орбиты, являющиеся многообразиями и группы Ли
§3) Орбиты, являющиеся многообразиями и трубки
Глава 2. Эквивариантные абсолютные экстензоры в размерности О и теорема о существовании срезов
§1) (1 Л.К(0) пространства и группы Ли
§2) Теорема о существовании срезов
Глава 3. Равностепенные экстензорные свойства пространства орбит.
§1) Теорема №Ьйейеас1'а
§2) Равностепенные экстензорные семейства множеств
§3) Категория с-пространств
§4) Теорема ЦЪие/геасГа для пространств с фильтрацией
§5) Равностепенные экстензорные свойства
пространства орбит для пространств
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Математическая система- это множество или семейства множеств с некоторой “структурой ”, а математика- это наука о математических системах. Если установить требования, чтобы структура была алгебраической, то система будет алгебраической, и алгебра есть предмет об алгебраических системах. Аналогично, топологическая структура определяет топологическое пространство, и топология есть предмет о топологических пространствах. Можно сформулировать понятие совлгестимости между топологической структурой и алгебраической структурой данной алгебраической системы. Алгебраическую систему с совместимой топологической структурой можно называть топологической системой, и предмет о таких системах можно называть анализом.
В современной топологии пристальное внимание уделяется изучению инъективных объектов в определённых категориях. Такие объекты в топологической терминологии называются абсолютными экстензорами. Другими словами, теория абсолютных экстензоров — это теория инъективных объектов в топологических категориях.
В настоящее время теория абсолютных экстензоров является одной из интенсивно развивающихся областей топологии, тесно связанной со всеми другими областями топологии от абстрактной до алгебраической. Исходные понятия теории абсолютных экстензоров принадлежат общей топологии, но полное га развитие требует применения алгебраического аппарата. Поэтому, эта теория связана с обеими главными ветвями топологии — теоретико-множественной и алгебраической топологией.
Теория эквивариантных экстензоров занимает такое же важное положение по отношению к эквивариантным многообразиям, как и обычная теория экстензоров по отношению к топологическим многообразиям.
Понятие действия топологической группы на топологическом пространстве, является формализацией интуитивной идеи внутренней симметрии топологических пространств. При исследовании таких объектов естественен подход, основанный на изучении того, как те или иные топологические свойства преломляются в присутствии действия группы.

Развитие топологической составляющей теории топологических групп преобразований во многом определялось решением ряда проблем, в числе которых особо можно отметить проблемы линеаризации действия и существования эквивариантных продолжений G-отображений.
По всей видимости, можно считать, что первая проблема во многом получила исчерпывающее решение в работах J. de Vries [37] и Ю.М. Смирнова [29]. Задача же исследования экстензорных свойств G-пространств, несмотря на полученные здесь глубокие и содержательные результаты, всё ещё содержит ряд интересных и важных вопросов. Именно разрешению некоторых из этих вопросов посвящена диссертация.
В основах теории эквивариантных экстензоров А.Глисон [39], доказал, что любое конечномерное линейное пространство с ортогональным действием компактной группы Ли является абсолютнъш экстензором. Важность этой теоремы объясняется её тесной связью с понятием среза G-пространства. Именно в основе этой теоремы, как впрочем, и всей теории топологических групп, лежит теорема о существовании срезов, доказанная трудами Глисона, Монтгомери и Янга, Мостова, Пале, и Бредона [16].
Из неё, в частности, следует, что главные G-расслоения для компактной группы Ли, в точности совпадают с орбитными проекциями свободных G-пространств. Именно по этой причине возникла тенденция рассматривать G-пространства как
обобщённые главные расслоения, и была предпринята попытка, разработать концепции классифицирующих и универсальных G-пространств по аналогии с классифицирующими и универсальными пространствами для расслоений. Р. Пале [53] была осуществлена гомотопическая классификация G-пространств с конечным числом орбитных типов для компактных групп Ли. Пале поставил задачу описания классифицирующих G-пространств с произвольной
орбитной структурой. Найденное в работе С.М. Агеева [2] её
решение оказалось тесно связанным с эквивариантным
гильбертовым кубом Q и характеризацией абсолютных экстензоров разнообразных категорий. Отметим, что приведённые в этой теореме связностные свойства, сыграли важную роль в установлении результатов второй главы диссертации (теорема 2.3).

Примем следующие, обозначения:
Через А:=С(а)=аеХ I geG} обозначим орбиту точки аеХ относительно действия группы в на пространстве X.
Через Н:=С„=еС | ga= а} обозначим стационарную
подгруппу точки аеХ.
Нам потребуется сначала доказать три основных леммы.
Как мы видели, отображение а„:С/Н »А является
эквивалентностью транзитивных С-пространств, где группа в действует на пространстве ОН левыми сдвигами. (Лемма 1.0).
Определим ядро кег9 действия 0 группы в на пространстве А, то есть, на пространстве в/Н смежных классов, следующим образом:
кег0(С) := {ёеС I gдc = хдля всеххеА}
Лемма 1.1. Пусть группа в действует на пространстве А
левыми сдвигами, то есть, пусть 9:СхС(а) >С(а) есть левое
действие группы С на пространстве А.
Тогда ядро действия кег0(С):=еС | ёх=х /хеС(а)} есть замкнутая нормальная подгруппа группы С.
Доказательство. Ядро ксг0(С) можно описать через отображение а:(2 »А (см. лемму 0.1) следующим образом:
кег0(С):= П «'С*)

Но прообразы а'(х)сС замкнутые подмножества для всех точек хеА, следовательно, ядро кег0(С) замкнуто как пересечение замкнутых множеств.
Очевидно ядро кег0(С) есть подгруппа группы С, так как, для любых элементов gl,g2eker0(G), имеется glX=x и g2X=x для произвольного элемента хек.