Анализ спектра диссипативного оператора Больцмана, спектральные особенности и функциональная модель

• Автор: Романов, Роман Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 81 с.

Содержание
Введение
1 Функциональная модель
2 Линейный оператор переноса "луудт
§1. Предварительные сведения
§2. Спектральный анализ оператора переноса
§3. Абсолютно непрерывный спектр оператора переноса
§4. Оператор переноса в трехмерном пространстве
§5. Заключительные замечания
3 Спектральные особенности и поведение оператора эволюции при больших временах
Приложение. Собственные функции оператора переноса в Ь1

Введение
Исследование несамосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром было начато, по существу, в работах М. А. Наймарка и В. А. Марченко [1, 2], посвященных оператору Шредин-гера с комплексным потенциалом в неограниченном пространстве. В этих работах, в частности, было получено спектральное разложение по собственным функциям непрерывного спектра оператора и, как следствие, установлено подобие части оператора, отвечающей существенному спектру, самосопряженному оператору, при условии отсутствия на положительной полуоси точек, в окрестности которых резольвента Я(г) не удовлетворяет условию ||і?(.г)|| < рру. В работе Дж. Шварца [3] такие точки были названы спектральными особенностями. Структура множества спектральных особенностей оператора Шредингсра изучалась в работах Б. С. Павлова [4, 5].
С другой стороны, в работах Б. С. - Надя и Ч. Фояша [6] по дилатациям абстрактных диссипативных операторов, был выделен класс Сц операторов, квазиподобных некоторому самосопряженному оператору с абсолютно непрерывным спектром - остаточной части своей минимальной самосопряженной дилатации. Если Ь - диссипативный оператор, & Zt = еш, і > 0, - соответствующая полугруппа, то Ь Є Сц тогда и только тогда, когда любое из равенств Кпцоо = О, ПгщооД?/ = 0 влечет за собой / = 0. Аналогичное построение, пригодное для более узкого класса операторов, было дано Л. А. Сах-новичем в работе [7] в рамках треугольной модели диссипативного оператора. Как известно, в рамках функциональной модели Надя -Фояша диссипативный оператор определяется своей характеристической функцией с точностью до унитарной эквивалентности. Оказа-

лось [6], что для широкого класса операторов принадлежность классу Сц означает, что его характеристическая функция является внешней. Последнее обстоятельство и было взято за основу определения оператора с абсолютно непрерывным спектром, предложенного в [7].
В соответствии с критерием Надя - Фояша, диссипативный оператор с абсолютно непрерывным спектром подобен самосопряженному в том и только том случае, если его характеристическая функция ограниченно обратима на вещественной оси. Таким образом, препятствием к существованию подобия служат вещественные нули характеристической функции. В силу известных соотношений между характеристической функцией и резольвентой, такие нули являются спектральными особенностями в смысле первоначального определения Дж. Шварца. Дальнейшее исследование диссипативных операторов методами функциональной модели показало [8], что и в общем случае, когда оператор имеет не только абсолютно непрерывный спектр, естественно выделять вещественные нули характеристической функции абсолютно непрерывной части оператора и называть их спектральными особенностями.
Проведенные исследования делают естественным вопрос о вкладе спектральных особенностей в свойства оператора. В работе В.
Э. Лянце [9] была предпринята попытка дать ответ на него для конкретного оператора (оператора Шредингера на полуоси) в терминах разложений по собственным функциям непрерывного спектра. Оказалось, что сходимость разложений имеет место либо для плотного множества данных, спектральные представители которых обращаются в нуль на спектральных особенностях, либо в более слабой метрике. При этом спектральные особенности предполагались изолирован-

ной формуле, справедливой при dim Hj = 1:
sin(Hd,Hess) = 3z0(Q'(z0)e,e*) ,
(2.11)

где {г0} = <т+(Т), е е кег(1 + <2(г0)), е* € кег(1 + О*(г0)), ||е|| = ||е*||
В самом деле, при ёппД* = 1 (-,и*)и, где и € Щ, и* €
кег(Т* — Щ). Из формул и = — т/г/)Уи, и* = гДо (го) Им* будем иметь
|(м,м*)| = |(До(го)Им,Ло()Им*)| = (Vi?2(Zo)HM, Wu
'q'(z0)Wu, Wu
Далее, умножая скалярно тождества Tu = zqu, T*u*

м* соответственно, получим Qzo ||м|

, 3?г0 1НГ
г0м на и и
Wu*"
Поскольку VVи и /Им* являются собственными функциями д(г0) и д*(гд) соответственно, отвечающими собственному значению — 1, (2.11) следует из равенства
sin(Hd, Не
РУГ1
Ы м*
В нашем случае <3(го) самосопряжен и, таким образом, е = е*. Используя результат вычисления (/(ге) в Фурье - представлении, полученный при доказательстве теоремы 2.1, получим
|(д'(ге)е,е)|
W(p)
рг + £г
-dp,
(2.12)
где у/се - преобразование Фурье функции y/ce G Е С L2(IR).
Введем оператор G(e) = y/cE?(ie)y/cE, действующий в Е. Согласно (2.7) будем иметь (G(e)e,e) = (/у/се,у/се. С другой стороны, (г0 = ге0)
J_ = |{92(»е0)в,е)| = ||ч/гн(»£о)уТе||2 s ||S(feo)%Æe,p = (G(eo)eje)