Математическая теория кинетики коагуляции-дробления

• Автор: Дубовский, Павел Борисович
• Шифр специальности: 05.13.16, 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 253 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Математические модели кинетики коагуляции и дробления
1.1 Постановка, задач
1.2 Основные свойства уравнения коагуляции-дробления
1.3 Основные функциональные пространства
Заключительные замечания
Глава 2. Существование решения для уравнения коагуляции-дро бления
2.1 Локальная разрешимость задачи Коши с финитными ядрами
2.2 Разрешимость в целом задачи с финитными ядрами
2.3 Формулировка теоремы существования решения в целом. Ограниченность моментов
2.4 Равномерная ограниченность последовательности приближенных решений
2.5 Компактность аппроксимирующей последовательности
2.6 Доказательство теоремы существования решения . Заключительные замечания
Глава 3. Условия выполнимости закона сохранения массы и теоремы единственности решения
3.1 Сохранение массы
3.2 Теорема единственности в пространстве П(Т)
3.3 Теорема единственности в пространстве Г2од(Т)

Глава 4. Некоторые свойства решений
4.1 Принцип максимума
4.2 Применение принципа максимума к уравнению коагуляции-дробления
4.3 Положительность решений
4.4 Порядок сингулярности стационарного решения уравнения коагуляции
Заключительные замечания
Глава 5. Существование равновесных состояний и сходимость к ним для некоторых моделей коагуляции-дробления с источником
5.1 Проблема существования равновесных решений
5.2 Существование и единственность равновесного решения
5.3 Линейная устойчивость
5.4 Нелинейные оценки решений
5.5 Свойства стационарных решений для уравнения коагуляции с источниками
5.6 Сходимость к равновесию
Заключительные замечания
Глава 6. Два семейства моделей коагуляции и их применение к исследованию кинетики дисперсных систем
6.1 Семейство дискретных моделей коагуляции
6.2 Другое семейство дискретных моделей коагуляции
6.3 Переход к уравнению Сафронова
6.4 Сравнительный математический анализ моделей коагуляции
6.5 Вычисление фронта коагуляции
6.6 Нарушение закона сохранения массы. Ядра К(х,у)
(ху)а
6.7 Нарушение закона сохранения массы для других ядер
коагуляции
Заключительные замечания
Глава 7. Исследование пространственно неоднородного
уравнения коагуляции-дробления
7.1 Локальная разрешимость для ядер коагуляции и дробления с компактным носителем
7.2 Теорема существования локального решения для неограниченных ядер
7.3 Оценки решения в равномерной норме
7.4 Оценки решения в интегральной норме
7.5 Разрешимость в целом в классе непрерывных функций
7.6 Гидродинамический предел для уравнения коагуляции-дробления
Заключительные замечания
Глава 8. Квазифункционалы как подход к исследованию
кинетики коагуляции-дробления и других задач
8.1 Понятие квазифункционалов. Основы теории коррект-
ности линейных интегральных уравнений с нефред-гольмовыми ядрами
8.2 Аналитическое решение уравнения дробления
8.3 Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений
8.4 Решение бесконечной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
8.5 Решение бесконечной системы линейных уравнений в
частных производных
8.6 Анализ скалярных гиперболических законов сохранения212
8.7 Цепочки кинетических уравнений
Заключительные замечания

Тогда,
\хп — ,т|| —» 0, п —* оо.
Доказательство. Из неравенств
||х„ - х\ = ||УП(*П) - Y(x)\ < IIYn(xn) - Y(xn)II + ||У(жя) - У(ж)|| <
< Pn(xn) - Y(xn)\ + а\хп - a:II
получаем
(1 - a)||x„ - ж|| < sup РД.г) - Y(x)|| < C\Yn - Y\ -* 0, n -> oo,
IPlfsc
что доказывает утверждение леммы 2.1.
Лемма 2.2 Пусть справедливы, условия теоремы. 2.1. Тогда любое непрерывное решение за,дачи Коши (2.1), (2.2) неотрицательно.
Доказательство. Пусть начальные данные cq и функция источников q стрго положительны. Допустим, что найдется точка роДо) такая, что с(х о До) = 0 и к тому же эта точка - ’’первая” точка, в которой происходит зануление, т.е.
с(хД) > 0 для всех 0 < х < тах-ро, A}, t Є [ОДо). (2.12)
Поскольку решение непрерывно и удовлетворяет (2.8), то оно должно быть непрерывно дифференцируемым по t. Значит, из (2.1) получаем
д' д’- =j0° К (жо “ 2/’ У, Рфо - у, t0)c(y, t0)dy+

+ /0 F(x0,y)c(x0 + у, t0)dy + q(x0, t0) > 0.
Положительность временной производной доказывает, что найдутся точки (ж, t0), х < xq, где функция с(х, tо) неотрицательна. Это противоречит нашему допущению, что точка роДо) - "первая”. Следовательно, решение положительно, если начальные данные и источники положительны.
Если начальные данные и/или источники не строго положительны, то построим последовательности положительных функций {ср. {у"},